与えられた式 $(b+c)(a+b)(a+c) + abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(b+c)(a+b)(a+c) + abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

\begin{align*}

(b+c)(a+b)(a+c) + abc &= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc) + abc \\

&= a^2b + ab^2 + abc + b^2c + a^2c + abc + ac^2 + bc^2 + abc \\

&= a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc

\end{align*}

次に、この式を整理します。

$a$ について整理すると、

$a^2(b+c) + a(b^2 + 3bc + c^2) + bc(b+c)$

となります。

さらに、

\begin{align*}

a^2(b+c) + a(b^2 + 3bc + c^2) + bc(b+c) &= a^2(b+c) + a(b^2 + 2bc + c^2 + bc) + bc(b+c) \\

&= a^2(b+c) + a((b+c)^2 + bc) + bc(b+c) \\

&= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + abc + bc(b+c) \\

&= (b+c)[a^2 + a(b+c) + bc] + abc \\

&= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc) + abc \\

&= (b+c)(a+b)(a+c) + abc \\

\end{align*}

式全体を見ると対称性があるため、因数分解の結果は $(a+b)(b+c)(c+a)$ になると予想できます。

実際に展開してみましょう。

\begin{align*}

(a+b)(b+c)(c+a) &= (a+b)(bc+c^2+b^2+ab) \\

&= abc + ac^2 + ab^2 + a^2b + b^2c + bc^2 + b^3 + ab^2 \\

&= abc + ac^2 + b^2c + ab^2 + a^2b + bc^2 + abc \\

&= a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc

\end{align*}

これは展開した式と一致します。したがって、

$(b+c)(a+b)(a+c)+abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

である。

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$