実数 $a$ に対して、2つの集合 $A = \{-1, 4, a^2 - 5a + 6\}$ と $B = \{a+5, a^2 - 7a + 12, 4\}$ が与えられている。$A \cap B = \{0, 4\}$ であるとき、$a$ の値と $A \cup B$ を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、2つの集合 $A = \{-1, 4, a^2 - 5a + 6\}$ と $B = \{a+5, a^2 - 7a + 12, 4\}$ が与えられている。$A \cap B = \{0, 4\}$ であるとき、$a$ の値と $A \cup B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$A \cap B = \{0, 4\}$ であることから、$0 \in A$ かつ $0 \in B$ が成り立つ。

* $0 \in A$ より、$a^2 - 5a + 6 = 0$ を解く。

$(a - 2)(a - 3) = 0$ より、$a = 2, 3$。

* $0 \in B$ より、$a + 5 = 0$ または $a^2 - 7a + 12 = 0$。

$a + 5 = 0$ より $a = -5$。

$a^2 - 7a + 12 = 0$ より、$(a - 3)(a - 4) = 0$。よって、$a = 3, 4$。

したがって、$a$ の候補は $-5, 2, 3, 4$ である。

これらの候補の中で、$A \cap B = \{0, 4\}$ となるものを探す。

* $a = -5$ のとき、$A = \{-1, 4, 56\}$、$B = \{0, 67, 4\}$。$A \cap B = \{4\}$ となり条件を満たさない。

* $a = 2$ のとき、$A = \{-1, 4, 0\}$、$B = \{7, 2, 4\}$。$A \cap B = \{4\}$ となり条件を満たさない。

* $a = 3$ のとき、$A = \{-1, 4, 0\}$、$B = \{8, -3, 4\}$。$A \cap B = \{4\}$ となり条件を満たさない。

* $a = 4$ のとき、$A = \{-1, 4, 2\}$、$B = \{9, 0, 4\}$。$A \cap B = \{4\}$となり条件を満たさない。

ここで見落としがあった。

$A \cap B = \{0,4\}$なので、$A, B$はそれぞれ $0,4$ の要素を持つ必要がある。

$a = 3$の時、$A = \{-1, 4, 0\}$、$B = \{8, -3, 4\}$となり、$0 \in A$かつ$4 \in A$, $4 \in B$となる。$A \cap B = \{4, 0\}$となるためには、$0\in B$でなければならない。$a=3$の場合、$B$の要素は$8, -3, 4$なので、$0 \in B$とならない。

上記の候補が間違いである可能性が高いので、考え方を変えてみる。

$A \cap B = \{0, 4\}$であるので、$A$は$0$と$4$を要素に持ち、$B$も$0$と$4$を要素に持つ。

集合Aは、$A = \{-1, 4, a^2 - 5a + 6\}$なので、$a^2 - 5a + 6 = 0$または$a^2 - 5a + 6 = 4$のいずれかが成立する。

$a^2 - 5a + 6 = 0$のとき、$(a-2)(a-3) = 0$なので、$a=2$または$a=3$

$a^2 - 5a + 6 = 4$のとき、$a^2 - 5a + 2 = 0$なので、$a = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$

集合Bは、$B = \{a+5, a^2 - 7a + 12, 4\}$なので、$a+5 = 0$または$a^2 - 7a + 12 = 0$または$a+5 = 4$または$a^2 - 7a + 12 = 4$のいずれかが成立する。

$a+5=0$のとき、$a=-5$

$a^2-7a+12 = 0$のとき、$(a-3)(a-4)=0$なので、$a=3$または$a=4$

$a+5=0$のとき、$a=-5$

$a^2 - 7a + 12 = 0$のとき、$(a-3)(a-4) = 0$なので、$a = 3$または$a = 4$

$a+5=4$のとき、$a=-1$

$a^2 - 7a + 12 = 4$のとき、$a^2 - 7a + 8 = 0$なので、$a = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2}$

以上より、$A$に$0$の要素が含まれるのは、$a=2$または$a=3$。

$a=3$の場合、$A=\{-1,4,0\}$、$B=\{8,-3,4\}$なので、$A \cap B = \{4\}$。

$a+5 = 0$になる時、$a=-5$で、$B=\{0,a^2-7a+12,4\}=\{0,25+35+12,4\}=\{0,72,4\}$。

$a^2 - 5a+6=-1$となれば、$A \cap B =\{0,4\}$になる可能性が生まれる。

$a^2-5a+7=0$の時、$a=\frac{5\pm \sqrt{-3}}{2}$なので不適。

$a = 3$ の場合を検討する。

$A = \{-1, 4, 0\}$ であり、$B = \{a+5, a^2-7a+12, 4\}$ なので、$B = \{8, 0, 4\}$ となる。

したがって、$A \cap B = \{0, 4\}$ であり、$a = 3$ は条件を満たす。

このとき、$A \cup B = \{-1, 4, 0, 8\}$。

3. 最終的な答え

$a = 3$ のとき、$A \cup B = \{-1, 0, 4, 8\}$