与えられた式 $(b+c)(a+b)(a+c)+3abc$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(b+c)(a+b)(a+c)+3abc$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$(b+c)(a+b)(a+c) = (b+c)(a^2+ab+ac+bc) = a^2b+ab^2+abc+b^2c+a^2c+abc+ac^2+bc^2 = a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+2abc$

したがって、与えられた式は、

$a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+2abc+3abc = a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+5abc$

次に、この式が $(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開したものと一致するかどうかを調べます。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab+ac+b^2+bc)(c+a) = abc+ac^2+b^2c+bc^2+a^2b+a^2c+ab^2+abc = a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+2abc$

与えられた式と $(a+b)(b+c)(c+a)$ の展開式を比較すると、定数項に差があることがわかります。つまり、与えられた式は $(a+b)(b+c)(c+a)$ ではありません。

しかし、式の形から、$(a+b+c)(ab+bc+ca)$ を展開してみます。

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a^2b+abc+ca^2+ab^2+b^2c+abc+abc+bc^2+c^2a = a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+3abc$

従って、$(a+b+c)(ab+bc+ca)=a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+3abc$ です。

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$