$W = \{x \mid x_1 - x_2 + x_3 = 3\}$ が $\mathbb{R}^3$ の部分空間であるかどうかを判定し、その理由を述べる。

1. 問題の内容

$W = \{x \mid x_1 - x_2 + x_3 = 3\}$ が $\mathbb{R}^3$ の部分空間であるかどうかを判定し、その理由を述べる。

2. 解き方の手順

部分空間であるための条件は以下の3つです。

(1) ゼロベクトルが含まれる。

(2) スカラー倍で閉じている。

(3) 和で閉じている。

まず、ゼロベクトル $(0, 0, 0)$ が $W$ に含まれるかどうかを確認します。

$0 - 0 + 0 = 0 \neq 3$ なので、ゼロベクトルは $W$ に含まれません。

したがって、$W$ は部分空間ではありません。

3. 最終的な答え

$W$ は $\mathbb{R}^3$ の部分空間ではない。

理由：ゼロベクトルを含まないため。