数列 $\{a_n\}$ は $\sum_{k=1}^n a_k = n^2$ で定義され、数列 $\{b_n\}$ は $b_1 = 1$, $b_{n+1} = 3b_n$ で定義される。このとき、以下の問いに答える。 (1) $a_n, b_n$ を求めよ。 (2) $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{a_{k+1}^2 - 1}$ を求めよ。 (3) $\sum_{k=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{a_{k+1}} + \sqrt{a_k}}$ を求めよ。 (4) $\sum_{k=1}^n a_k b_k$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は $\sum_{k=1}^n a_k = n^2$ で定義され、数列 $\{b_n\}$ は $b_1 = 1$, $b_{n+1} = 3b_n$ で定義される。このとき、以下の問いに答える。

(1) $a_n, b_n$ を求めよ。

(2) $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{a_{k+1}^2 - 1}$ を求めよ。

(3) $\sum_{k=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{a_{k+1}} + \sqrt{a_k}}$ を求めよ。

(4) $\sum_{k=1}^n a_k b_k$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_n$ を求める。

$\sum_{k=1}^n a_k = n^2$ より、

$a_1 = 1^2 = 1$

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = \sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k = n^2 - (n-1)^2 = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = 2n - 1$

$a_1 = 2(1) - 1 = 1$ なので、

$a_n = 2n - 1$ ($n \ge 1$)

$b_n$ を求める。

$b_{n+1} = 3b_n$ より、$\{b_n\}$ は公比3の等比数列である。

$b_1 = 1$ なので、

$b_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$

(2) $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{a_{k+1}^2 - 1}$ を求める。

$a_{k+1} = 2(k+1) - 1 = 2k + 1$

$a_{k+1}^2 - 1 = (2k+1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k + 1 - 1 = 4k^2 + 4k = 4k(k+1)$

$\frac{1}{a_{k+1}^2 - 1} = \frac{1}{4k(k+1)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$

$\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{a_{k+1}^2 - 1} = \sum_{k=1}^{20} \frac{1}{4} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{20} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{21} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{20}{21} = \frac{5}{21}$

(3) $\sum_{k=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{a_{k+1}} + \sqrt{a_k}}$ を求める。

$\frac{1}{\sqrt{a_{k+1}} + \sqrt{a_k}} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{(\sqrt{a_{k+1}} + \sqrt{a_k})(\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{a_{k+1} - a_k}$

$a_{k+1} - a_k = (2(k+1) - 1) - (2k - 1) = 2k + 2 - 1 - 2k + 1 = 2$

$\frac{1}{\sqrt{a_{k+1}} + \sqrt{a_k}} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{2}$

$\sum_{k=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{a_{k+1}} + \sqrt{a_k}} = \sum_{k=1}^{24} \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{24} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}) = \frac{1}{2} (\sqrt{a_{25}} - \sqrt{a_1}) = \frac{1}{2} (\sqrt{2(25)-1} - \sqrt{2(1)-1}) = \frac{1}{2} (\sqrt{49} - \sqrt{1}) = \frac{1}{2} (7-1) = \frac{6}{2} = 3$

(4) $\sum_{k=1}^n a_k b_k$ を求める。

$a_k b_k = (2k-1) 3^{k-1}$

$S_n = \sum_{k=1}^n (2k-1) 3^{k-1} = 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + 7 \cdot 3^3 + \cdots + (2n-1) 3^{n-1}$

$3S_n = 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + 7 \cdot 3^4 + \cdots + (2n-1) 3^{n}$

$-2S_n = 1 + 2(3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^{n-1}) - (2n-1) 3^n = 1 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k+1-1} - (2n-1) 3^n$

$\sum_{k=1}^{n-1} 3^k = \frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1} = \frac{3(3^{n-1}-1)}{2} = \frac{3^n - 3}{2}$

$-2S_n = 1 + 2 \cdot \frac{3^n - 3}{2} - (2n-1) 3^n = 1 + 3^n - 3 - (2n-1) 3^n = -2 + 3^n - (2n-1) 3^n = -2 - (2n-2) 3^n = -2 - 2(n-1) 3^n$

$S_n = 1 + (n-1) 3^n$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n-1$, $b_n = 3^{n-1}$

(2) $\frac{5}{21}$

(3) $3$

(4) $1 + (n-1)3^n$