複素数 $z$ が $|z-i| = |iz+2|$ を満たすとき、点 $z$ の軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が $|z-i| = |iz+2|$ を満たすとき、点 $z$ の軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

複素数 $z = x + yi$ ($x, y$ は実数) とおきます。

与えられた方程式 $|z-i| = |iz+2|$ に代入すると、

$|x+yi-i| = |i(x+yi)+2|$

$|x+(y-1)i| = |ix-y+2|$

$|x+(y-1)i| = |(2-y)+xi|$

複素数の絶対値の定義より、

$\sqrt{x^2+(y-1)^2} = \sqrt{(2-y)^2+x^2}$

両辺を2乗すると、

$x^2+(y-1)^2 = (2-y)^2+x^2$

$x^2+y^2-2y+1 = 4-4y+y^2+x^2$

$x^2$ と $y^2$ を両辺から引くと、

$-2y+1 = 4-4y$

$2y = 3$

$y = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

点 $z$ の軌跡は、$y = \frac{3}{2}$ である直線。