与えられた $n$ 次正方行列の行列式を計算する問題です。行列は三対角行列であり、対角成分は $1+x^2$ で、上下の対角成分は $x$ で、それ以外は $0$ です。求めたい行列式は $1 + x^2 + x^4 + \dots + x^{2n}$ であることを示します。

1. 問題の内容

与えられた $n$ 次正方行列の行列式を計算する問題です。行列は三対角行列であり、対角成分は $1+x^2$ で、上下の対角成分は $x$ で、それ以外は $0$ です。求めたい行列式は $1 + x^2 + x^4 + \dots + x^{2n}$ であることを示します。

2. 解き方の手順

行列式を $D_n$ とします。

$D_n$ を第1行で展開することを考えます。

すると、

$D_n = (1+x^2)D_{n-1} - x \begin{vmatrix} x & \dots \\ 0 & \dots \\ \vdots & D_{n-2}\end{vmatrix}$

$D_n = (1+x^2)D_{n-1} - x^2 D_{n-2}$

ここで、$D_0 = 1$, $D_1 = 1+x^2$ とします。

$D_n = (1+x^2)D_{n-1} - x^2 D_{n-2}$

この漸化式を解きます。

特性方程式は

$\lambda^2 - (1+x^2)\lambda + x^2 = 0$

$(\lambda - 1)(\lambda - x^2) = 0$

$\lambda = 1, x^2$

$D_n = A(1)^n + B(x^2)^n = A + Bx^{2n}$

$D_0 = A+B = 1$

$D_1 = A+Bx^2 = 1+x^2$

$B(x^2-1) = x^2$

$B = \frac{x^2}{x^2-1}$

$A = 1 - \frac{x^2}{x^2-1} = \frac{x^2-1-x^2}{x^2-1} = \frac{-1}{x^2-1}$

$D_n = \frac{-1}{x^2-1} + \frac{x^2}{x^2-1}x^{2n} = \frac{x^{2n+2}-1}{x^2-1} = 1 + x^2 + x^4 + \dots + x^{2n}$

よって、行列式は $1 + x^2 + x^4 + \dots + x^{2n}$ となります。

3. 最終的な答え

$1 + x^2 + x^4 + \dots + x^{2n}$