数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = \frac{1}{4}$ と漸化式 $\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = 4n+1$ で定められている。$b_n = \frac{1}{a_n}$ とするとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = \frac{1}{4}$ と漸化式 $\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = 4n+1$ で定められている。$b_n = \frac{1}{a_n}$ とするとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式を $b_n$ を用いて書き換えます。

$b_n = \frac{1}{a_n}$ より、$\frac{1}{a_{n+1}} = b_{n+1}$ と $\frac{1}{a_n} = b_n$ なので、漸化式は

$$b_{n+1} - b_n = 4n+1$$

となります。

これは階差数列の形なので、$n \geq 2$ のとき、

$$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k+1)$$

$b_1 = \frac{1}{a_1} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$ であるので、

$$b_n = 4 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k+1)$$

$$b_n = 4 + 4 \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1$$

$$b_n = 4 + 4 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + (n-1)$$

$$b_n = 4 + 2n(n-1) + n - 1$$

$$b_n = 4 + 2n^2 - 2n + n - 1$$

$$b_n = 2n^2 - n + 3$$

これは $n=1$ のときも $b_1 = 2(1)^2 - 1 + 3 = 2 - 1 + 3 = 4$ を満たします。

したがって、$n \geq 1$ のとき $b_n = 2n^2 - n + 3$ となります。

3. 最終的な答え

$b_n = 2n^2 - n + 3$