画像に写っている数学の問題のうち、(17)から(22)までの問題を解き、(23)は解答しません。 (17) ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}$ を、ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ と $\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ の線形結合で表すことはできない。なぜか説明せよ。 (18) ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ と $\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ の線形結合で表すことができるベクトル $\mathbf{x}$ を求めよ。 (19) ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}$ を、ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$、 $\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$、$\mathbf{a}_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}$ の線形結合で表すことはできない。なぜか説明せよ。 (20) ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$、$\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$、$\mathbf{a}_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}$ の線形結合で表すことができるベクトル $\mathbf{x}$ を求めよ。 (21) ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}$ を、ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$、$\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -10 \end{pmatrix}$、$\mathbf{a}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 15 \end{pmatrix}$ の線形結合で表すことはできない。なぜか説明せよ。 (22) ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$、$\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -10 \end{pmatrix}$、$\mathbf{a}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 15 \end{pmatrix}$ の線形結合で表すことができるベクトル $\mathbf{x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題のうち、(17)から(22)までの問題を解き、(23)は解答しません。

(17) ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}$ を、ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ と $\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ の線形結合で表すことはできない。なぜか説明せよ。

(18) ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ と $\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ の線形結合で表すことができるベクトル $\mathbf{x}$ を求めよ。

(19) ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}$ を、ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$、 $\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$、$\mathbf{a}_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}$ の線形結合で表すことはできない。なぜか説明せよ。

(20) ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$、$\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$、$\mathbf{a}_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}$ の線形結合で表すことができるベクトル $\mathbf{x}$ を求めよ。

(21) ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}$ を、ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$、$\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -10 \end{pmatrix}$、$\mathbf{a}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 15 \end{pmatrix}$ の線形結合で表すことはできない。なぜか説明せよ。

(22) ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$、$\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -10 \end{pmatrix}$、$\mathbf{a}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 15 \end{pmatrix}$ の線形結合で表すことができるベクトル $\mathbf{x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(17)

$\mathbf{x} = c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2$ となる $c_1, c_2$ が存在しないことを示す。

$\begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ を成分ごとに書くと、

\begin{align*}

c_1 + c_2 &= -6 \\

2c_1 + 4c_2 &= 9 \\

5c_1 + 3c_2 &= 4

\end{align*}

1つ目の式と2つ目の式から、$c_1$と$c_2$を求めると、$c_1 = -21/2, c_2 = -1/2$が得られる。

これを３つ目の式に代入すると、$5(-21/2) + 3(-1/2) = -108/2 = -54 \neq 4$ となり、矛盾する。

よって、$\mathbf{x}$ を $\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ の線形結合で表すことはできない。

(18)

$\mathbf{x} = c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2 = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 + c_2 \\ 2c_1 + 4c_2 \\ 5c_1 + 3c_2 \end{pmatrix}$

よって、$\mathbf{x}$ は $\begin{pmatrix} c_1 + c_2 \\ 2c_1 + 4c_2 \\ 5c_1 + 3c_2 \end{pmatrix}$ の形で表せる。

例えば、$c_1 = 1, c_2 = 1$とすると、$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}$。

(19)

$\mathbf{x} = c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2 + c_3 \mathbf{a}_3$ となる $c_1, c_2, c_3$ が存在しないことを示す。

$\mathbf{a}_3 = 2 \mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1$ であるから、$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ は線形従属である。

$\mathbf{x} = c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2 + c_3(2\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1) = (c_1 - c_3)\mathbf{a}_1 + (c_2 + 2c_3) \mathbf{a}_2 = d_1 \mathbf{a}_1 + d_2 \mathbf{a}_2$ (ただし、$d_1 = c_1 - c_3, d_2 = c_2 + 2c_3$)

問題 (17) より、$\mathbf{x}$ は $\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ の線形結合で表すことができない。

したがって、$\mathbf{x}$ を $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ の線形結合で表すことはできない。

(20)

(19)より、$\mathbf{a}_3 = 2\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1$であるから、$\mathbf{x} = c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2 + c_3 \mathbf{a}_3 = c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2 + c_3(2 \mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1) = (c_1 - c_3)\mathbf{a}_1 + (c_2 + 2c_3) \mathbf{a}_2 = d_1 \mathbf{a}_1 + d_2 \mathbf{a}_2$ (ただし、$d_1 = c_1 - c_3, d_2 = c_2 + 2c_3$)

よって、$\mathbf{x}$ は $\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ の線形結合で表せるベクトルである。

問題(18)と同様に、$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} c_1 + c_2 \\ 2c_1 + 4c_2 \\ 5c_1 + 3c_2 \end{pmatrix}$ の形で表せる。

例えば、$c_1 = 1, c_2 = 1$とすると、$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}$。

(21)

$\mathbf{a}_2 = -2 \mathbf{a}_1$ かつ $\mathbf{a}_3 = 3 \mathbf{a}_1$ であるから、$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ は線形従属である。

$\mathbf{x} = c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2 + c_3 \mathbf{a}_3 = c_1 \mathbf{a}_1 + c_2(-2 \mathbf{a}_1) + c_3(3 \mathbf{a}_1) = (c_1 - 2c_2 + 3c_3) \mathbf{a}_1$

つまり、$\mathbf{x}$ は $\mathbf{a}_1$ の定数倍で表せる必要がある。しかし、$\mathbf{a}_1$ の定数倍で $\mathbf{x}$ を表すことはできない。

なぜなら、

$c \mathbf{a}_1 = c \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \\ 2c \\ 5c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}$

となる $c$ が存在しないからである。

したがって、$\mathbf{x}$ を $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ の線形結合で表すことはできない。

(22)

(21)より、$\mathbf{a}_2 = -2 \mathbf{a}_1$ かつ $\mathbf{a}_3 = 3 \mathbf{a}_1$ であるから、$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ は線形従属である。

$\mathbf{x} = c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2 + c_3 \mathbf{a}_3 = c_1 \mathbf{a}_1 + c_2(-2 \mathbf{a}_1) + c_3(3 \mathbf{a}_1) = (c_1 - 2c_2 + 3c_3) \mathbf{a}_1 = k \mathbf{a}_1$ （ただし、$k = c_1 - 2c_2 + 3c_3$)

よって、$\mathbf{x}$ は $\mathbf{a}_1$ の定数倍で表せるベクトルである。

$\mathbf{x} = k \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \\ 2k \\ 5k \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(17) $\mathbf{x}$ は $\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ の線形結合で表せない。なぜなら、連立一次方程式が矛盾するから。

(18) $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} c_1 + c_2 \\ 2c_1 + 4c_2 \\ 5c_1 + 3c_2 \end{pmatrix}$ （$c_1, c_2$ は任意の実数）

(19) $\mathbf{x}$ は $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ の線形結合で表せない。なぜなら、$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ が線形従属であり、かつ$\mathbf{x}$は$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2$の線形結合で表せないから。

(20) $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} c_1 + c_2 \\ 2c_1 + 4c_2 \\ 5c_1 + 3c_2 \end{pmatrix}$ （$c_1, c_2$ は任意の実数）

(21) $\mathbf{x}$ は $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ の線形結合で表せない。なぜなら、$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ が線形従属であり、$\mathbf{x}$ は $\mathbf{a}_1$ の定数倍で表せないから。

(22) $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} k \\ 2k \\ 5k \end{pmatrix}$ （$k$ は任意の実数）