ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}$ を、ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$, $\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\mathbf{a}_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ の線形結合として表す。また、$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ が線形独立か線形従属かを説明する。

## 問題15

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}$ を、ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$, $\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\mathbf{a}_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ の線形結合として表す。また、$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ が線形独立か線形従属かを説明する。

2. 解き方の手順

まず、$\mathbf{x}$ を $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ の線形結合で表すことを考えます。つまり、スカラー $c_1, c_2, c_3$ を用いて、

$\mathbf{x} = c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2 + c_3 \mathbf{a}_3$

と表すことを目指します。これは、

$\begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

となり、連立一次方程式

$\begin{cases} c_1 + 4c_2 - c_3 = -6 \\ 2c_1 + c_2 + 3c_3 = 9 \\ 5c_1 + 3c_2 + c_3 = 4 \end{cases}$

を解くことと等価です。この連立一次方程式を行列で表現すると、

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}$

となります。この方程式を解くために、拡大行列を作成し、ガウスの消去法を用いて解きます。

拡大行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & -6 \\ 2 & 1 & 3 & 9 \\ 5 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}$

です。

第2行から第1行の2倍を引き、第3行から第1行の5倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & -6 \\ 0 & -7 & 5 & 21 \\ 0 & -17 & 6 & 34 \end{pmatrix}$

第2行を-7で割り、

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & -6 \\ 0 & 1 & -5/7 & -3 \\ 0 & -17 & 6 & 34 \end{pmatrix}$

第3行に第2行の17倍を足し、

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & -6 \\ 0 & 1 & -5/7 & -3 \\ 0 & 0 & -43/7 & -17 \end{pmatrix}$

第3行を-43/7で割り、

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & -6 \\ 0 & 1 & -5/7 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 119/43 \end{pmatrix}$

これから、$c_3 = \frac{119}{43}$ が得られます。

これを第2行の式に代入すると、

$c_2 - \frac{5}{7} c_3 = -3$

$c_2 = -3 + \frac{5}{7} \cdot \frac{119}{43} = -3 + \frac{5 \cdot 17}{43} = \frac{-129 + 85}{43} = -\frac{44}{43}$

次に、$c_1$ を計算します。

$c_1 + 4c_2 - c_3 = -6$

$c_1 = -6 - 4c_2 + c_3 = -6 -4 \cdot (-\frac{44}{43}) + \frac{119}{43} = \frac{-258 + 176 + 119}{43} = \frac{37}{43}$

よって、$c_1 = \frac{37}{43}, c_2 = -\frac{44}{43}, c_3 = \frac{119}{43}$ です。

次に、$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ が線形独立か線形従属かを判定します。

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ の行列式を計算します。

$1(1 - 9) - 4(2 - 15) - 1(6 - 5) = -8 + 52 - 1 = 43$

行列式が0ではないので、$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ は線形独立です。

3. 最終的な答え

$\mathbf{x} = \frac{37}{43} \mathbf{a}_1 - \frac{44}{43} \mathbf{a}_2 + \frac{119}{43} \mathbf{a}_3$

$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ は線形独立である。

## 問題16

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}$ を、ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$, $\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\mathbf{a}_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{a}_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ の線形結合として表す。また、$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4$ が線形独立か線形従属かを説明する。

2. 解き方の手順

まず、$\mathbf{x}$ を $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4$ の線形結合で表すことを考えます。つまり、スカラー $c_1, c_2, c_3, c_4$ を用いて、

$\mathbf{x} = c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2 + c_3 \mathbf{a}_3 + c_4 \mathbf{a}_4$

と表すことを目指します。これは、

$\begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + c_4 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

となり、連立一次方程式

$\begin{cases} c_1 + 4c_2 - c_3 = -6 \\ 2c_1 + c_2 + 3c_3 + c_4 = 9 \\ 5c_1 + 3c_2 + c_3 = 4 \end{cases}$

を解くことと等価です。

未知数が4つありますが、方程式が3つしかないため、この連立一次方程式は不定解を持ちます。一つの解を求めるために、$c_4=0$と仮定します。この場合問題15と全く同じ連立一次方程式になります。

$\begin{cases} c_1 + 4c_2 - c_3 = -6 \\ 2c_1 + c_2 + 3c_3 = 9 \\ 5c_1 + 3c_2 + c_3 = 4 \end{cases}$

この解は問題15より、$c_1 = \frac{37}{43}, c_2 = -\frac{44}{43}, c_3 = \frac{119}{43}$ です。

次に、$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4$ が線形独立か線形従属かを判定します。$\mathbb{R}^3$空間内のベクトルは3つまでしか線形独立になり得ないので、$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4$ は線形従属です。

3. 最終的な答え

$\mathbf{x} = \frac{37}{43} \mathbf{a}_1 - \frac{44}{43} \mathbf{a}_2 + \frac{119}{43} \mathbf{a}_3 + 0 \mathbf{a}_4$

$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4$ は線形従属である。