ベクトル $\mathbf{x}$ がベクトル $\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ の線形結合で表せないことを示す。

## 問題文の確認と整理

与えられた画像には、線形代数の問題が3つあります。

(17) ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}$ を、ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ と $\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ の線形結合で表すことができない理由を説明する。

(18) ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ と $\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ の線形結合で表すことのできるベクトル $\mathbf{x}$ を求める。

(19) ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}$ を、ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ 、$\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ 、$\mathbf{a}_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}$ の線形結合で表すことができない理由を説明する。

## 解答

### (17) の解答

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{x}$ がベクトル $\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ の線形結合で表せないことを示す。

2. 解き方の手順

$\mathbf{x}$ が $\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ の線形結合で表せると仮定すると、スカラー $c_1$ と $c_2$ が存在して、

$\mathbf{x} = c_1\mathbf{a}_1 + c_2\mathbf{a}_2$

$\begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$

この式は次の連立方程式に対応します。

$c_1 + c_2 = -6$

$2c_1 + 4c_2 = 9$

$5c_1 + 3c_2 = 4$

最初の式から $c_1 = -6 - c_2$ となり、これを2番目の式に代入すると

$2(-6 - c_2) + 4c_2 = 9$

$-12 - 2c_2 + 4c_2 = 9$

$2c_2 = 21$

$c_2 = \frac{21}{2}$

したがって $c_1 = -6 - \frac{21}{2} = -\frac{12}{2} - \frac{21}{2} = -\frac{33}{2}$.

これらの $c_1$ と $c_2$ の値を3番目の式に代入します。

$5(-\frac{33}{2}) + 3(\frac{21}{2}) = -\frac{165}{2} + \frac{63}{2} = -\frac{102}{2} = -51 \neq 4$.

したがって、連立方程式は解を持たず、ベクトル $\mathbf{x}$ は $\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ の線形結合で表すことはできません。

3. 最終的な答え

ベクトル $\mathbf{x}$ は、ベクトル $\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ の線形結合で表すことができません。なぜなら、$\mathbf{x} = c_1\mathbf{a}_1 + c_2\mathbf{a}_2$ となるスカラー $c_1$ と $c_2$ が存在しないからです。

### (18) の解答

1. 問題の内容

$\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ の線形結合で表せるベクトル $\mathbf{x}$ を求める。

2. 解き方の手順

$\mathbf{x} = c_1\mathbf{a}_1 + c_2\mathbf{a}_2$ となるベクトル $\mathbf{x}$ を求めることは, $\mathbf{a}_1$と$\mathbf{a}_2$で張られる空間のベクトルを求めることと同じです. $\mathbf{x}$は$\mathbf{a}_1$と$\mathbf{a}_2$の線形結合なので、

$\mathbf{x} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1+c_2 \\ 2c_1+4c_2 \\ 5c_1+3c_2 \end{pmatrix}$

$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} c_1+c_2 \\ 2c_1+4c_2 \\ 5c_1+3c_2 \end{pmatrix}$が答えです. $c_1$と$c_2$に具体的な値を代入したベクトルが$\mathbf{a}_1$と$\mathbf{a}_2$の線形結合で表せるベクトルです。例えば、$c_1=1, c_2=1$とすると

$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}$

となります。

3. 最終的な答え

$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} c_1+c_2 \\ 2c_1+4c_2 \\ 5c_1+3c_2 \end{pmatrix}$ （ただし、$c_1$、$c_2$ は任意のスカラー）

$\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}$（例）

### (19) の解答

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{x}$ がベクトル $\mathbf{a}_1$, $\mathbf{a}_2$, $\mathbf{a}_3$ の線形結合で表せないことを示す。

2. 解き方の手順

$\mathbf{a}_3=2\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2$なので$\mathbf{a}_1$, $\mathbf{a}_2$, $\mathbf{a}_3$は線形独立ではありません。

$\mathbf{x}$ が $\mathbf{a}_1$, $\mathbf{a}_2$, $\mathbf{a}_3$ の線形結合で表せると仮定すると、スカラー $c_1$, $c_2$, $c_3$ が存在して、

$\mathbf{x} = c_1\mathbf{a}_1 + c_2\mathbf{a}_2 + c_3\mathbf{a}_3$

$\begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} + c_3\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} = (c_1+c_2+2c_3)\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + (0)\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + (0)\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この式は次の連立方程式に対応します。

$c_1 + c_2 + 2c_3 = -6$

$2c_1 + 4c_2 + 6c_3 = 9$

$5c_1 + 3c_2 + 8c_3 = 4$

最初の式から $c_1 = -6 - c_2 -2c_3$ となり、これを2番目の式に代入すると

$2(-6 - c_2 -2c_3) + 4c_2 + 6c_3 = 9$

$-12 - 2c_2 - 4c_3 + 4c_2 + 6c_3 = 9$

$2c_2 + 2c_3 = 21$

$c_2 + c_3 = \frac{21}{2}$

$c_2 = \frac{21}{2} - c_3$

したがって $c_1 = -6 - (\frac{21}{2} - c_3) - 2c_3 = -\frac{33}{2} - c_3$.

これらの $c_1$ と $c_2$ の値を3番目の式に代入します。

$5(-\frac{33}{2} - c_3) + 3(\frac{21}{2} - c_3) + 8c_3 = -\frac{165}{2} - 5c_3 + \frac{63}{2} - 3c_3 + 8c_3 = -\frac{102}{2} = -51 \neq 4$.

したがって、連立方程式は解を持たず、ベクトル $\mathbf{x}$ は $\mathbf{a}_1$, $\mathbf{a}_2$, $\mathbf{a}_3$ の線形結合で表すことはできません。

3. 最終的な答え

ベクトル $\mathbf{x}$ は、ベクトル $\mathbf{a}_1$, $\mathbf{a}_2$, $\mathbf{a}_3$ の線形結合で表すことができません。なぜなら、$\mathbf{x} = c_1\mathbf{a}_1 + c_2\mathbf{a}_2 + c_3\mathbf{a}_3$ となるスカラー $c_1$, $c_2$, $c_3$ が存在しないからです。また、$\mathbf{a}_3$が$\mathbf{a}_1$と$\mathbf{a}_2$の線形結合で表せるため、$\mathbf{a}_1$, $\mathbf{a}_2$, $\mathbf{a}_3$は$\mathbb{R}^3$を張ることができません。