ベクトル $x = \begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}$ の15倍 $15x$ を、ベクトル $a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$, $a_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ の線形結合で表す問題です。また、$a_1, a_2, a_3$ が線形独立か線形従属かを判断し、説明します。

1. 問題の内容

ベクトル $x = \begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}$ の15倍 $15x$ を、ベクトル $a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$, $a_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ の線形結合で表す問題です。また、$a_1, a_2, a_3$ が線形独立か線形従属かを判断し、説明します。

2. 解き方の手順

まず、$15x$ を計算します。

$15x = 15 \begin{pmatrix} -6 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -90 \\ 135 \\ 60 \end{pmatrix}$

次に、$15x$ を $a_1, a_2, a_3$ の線形結合で表す係数 $c_1, c_2, c_3$ を求めます。つまり、以下の式を満たす $c_1, c_2, c_3$ を求めます。

$c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3 = 15x$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -90 \\ 135 \\ 60 \end{pmatrix}$

この連立一次方程式を解くために、拡大行列を作り、行基本変形を行います。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -90 \\ 2 & 4 & 3 & 135 \\ 5 & 3 & 1 & 60 \end{pmatrix}$

(2行目) - 2 * (1行目)

(3行目) - 5 * (1行目)

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -90 \\ 0 & 2 & 5 & 315 \\ 0 & -2 & 6 & 510 \end{pmatrix}$

(3行目) + (2行目)

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -90 \\ 0 & 2 & 5 & 315 \\ 0 & 0 & 11 & 825 \end{pmatrix}$

これにより、以下の連立一次方程式が得られます。

$c_1 + c_2 - c_3 = -90$

$2c_2 + 5c_3 = 315$

$11c_3 = 825$

これを解くと、

$c_3 = 825 / 11 = 75$

$2c_2 = 315 - 5c_3 = 315 - 5 * 75 = 315 - 375 = -60$

$c_2 = -30$

$c_1 = -90 - c_2 + c_3 = -90 - (-30) + 75 = -90 + 30 + 75 = 15$

したがって、$15x = 15a_1 - 30a_2 + 75a_3$ となります。

次に、$a_1, a_2, a_3$ が線形独立か線形従属かを調べます。これを行うには、以下の式が成り立つかどうかを確認します。

$c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3 = 0$

もし $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ 以外の解が存在する場合、$a_1, a_2, a_3$ は線形従属です。存在しない場合は線形独立です。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

先程と同様の行基本変形を行います。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 0 \\ 5 & 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & -2 & 6 & 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 11 & 0 \end{pmatrix}$

$c_1 + c_2 - c_3 = 0$

$2c_2 + 5c_3 = 0$

$11c_3 = 0$

これを解くと、$c_3 = 0$, $c_2 = 0$, $c_1 = 0$ となり、自明な解しかありません。

したがって、$a_1, a_2, a_3$ は線形独立です。

3. 最終的な答え

$15x = 15a_1 - 30a_2 + 75a_3$

$a_1, a_2, a_3$ は線形独立である。