次の方程式を解く問題です。 $\log_3(x-4) + \log_3(x+2) = 8\log_3 2$

1. 問題の内容

次の方程式を解く問題です。

$\log_3(x-4) + \log_3(x+2) = 8\log_3 2$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して式を整理します。

$\log_a(x) + \log_a(y) = \log_a(xy)$ であるから、

$\log_3(x-4) + \log_3(x+2) = \log_3((x-4)(x+2))$

また、$n\log_a(x) = \log_a(x^n)$ であるから、

$8\log_3 2 = \log_3(2^8) = \log_3(256)$

したがって、与えられた方程式は、

$\log_3((x-4)(x+2)) = \log_3(256)$

となります。

対数の底が等しいので、真数部分も等しくなります。

$(x-4)(x+2) = 256$

$x^2 - 2x - 8 = 256$

$x^2 - 2x - 264 = 0$

この2次方程式を解くために、解の公式を使います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-264)}}{2}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 1056}}{2}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{1060}}{2}$

$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{265}}{2}$

$x = 1 \pm \sqrt{265}$

ここで、対数の真数条件を確認します。

$x - 4 > 0$ より、$x > 4$

$x + 2 > 0$ より、$x > -2$

したがって、$x > 4$でなければなりません。

$x = 1 + \sqrt{265} \approx 1 + 16.28 \approx 17.28 > 4$

$x = 1 - \sqrt{265} \approx 1 - 16.28 \approx -15.28 < 4$

したがって、$x = 1 + \sqrt{265}$ のみが条件を満たします。

3. 最終的な答え

$x = 1 + \sqrt{265}$