与えられた式 $P = |x-1| + |x-2| + |x-3|$ を、絶対値記号を取り除いて簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $P = |x-1| + |x-2| + |x-3|$ を、絶対値記号を取り除いて簡単にせよ。

2. 解き方の手順

絶対値記号 $|x-a|$ は、$x \ge a$ のとき $x-a$ となり、$x < a$ のとき $-(x-a) = a-x$ となる。

この問題では、$x-1$, $x-2$, $x-3$ の正負が変化する $x=1, 2, 3$ が重要となる。

よって、以下の4つの場合分けを行う。

(i) $x < 1$ のとき、 $|x-1| = 1-x$, $|x-2| = 2-x$, $|x-3| = 3-x$ であるから、

$P = (1-x) + (2-x) + (3-x) = 6 - 3x$

(ii) $1 \le x < 2$ のとき、 $|x-1| = x-1$, $|x-2| = 2-x$, $|x-3| = 3-x$ であるから、

$P = (x-1) + (2-x) + (3-x) = 4 - x$

(iii) $2 \le x < 3$ のとき、 $|x-1| = x-1$, $|x-2| = x-2$, $|x-3| = 3-x$ であるから、

$P = (x-1) + (x-2) + (3-x) = x$

(iv) $3 \le x$ のとき、 $|x-1| = x-1$, $|x-2| = x-2$, $|x-3| = x-3$ であるから、

$P = (x-1) + (x-2) + (x-3) = 3x - 6$

以上より、

$x < 1$ のとき $P = 6-3x$

$1 \le x < 2$ のとき $P = 4-x$

$2 \le x < 3$ のとき $P = x$

$3 \le x$ のとき $P = 3x-6$

3. 最終的な答え

$P = \begin{cases} 6-3x & (x < 1) \\ 4-x & (1 \le x < 2) \\ x & (2 \le x < 3) \\ 3x-6 & (3 \le x) \end{cases}$