次の式を因数分解せよ。 $(a-2)(b-2) + a + b - 3$

## 問題の解答

画像にある数学の問題を解きます。今回は、52の(1), 53の(1), 54の(1)を解きます。

### 52 (1)

1. 問題の内容

次の式を因数分解せよ。

$(a-2)(b-2) + a + b - 3$

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$(a-2)(b-2) + a + b - 3 = ab - 2a - 2b + 4 + a + b - 3$

整理すると、

$ab - a - b + 1$

この式は次のように因数分解できます。

$ab - a - b + 1 = a(b-1) - (b-1)$

$=(a-1)(b-1)$

3. 最終的な答え

$(a-1)(b-1)$

### 53 (1)

1. 問題の内容

次の式を因数分解せよ。

$x^2 + 5xy + 6y^2 - x - 5y - 6$

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 5xy + 6y^2$の部分を因数分解します。

$x^2 + 5xy + 6y^2 = (x+2y)(x+3y)$

与式を$(x+2y)(x+3y) - x - 5y - 6$とします。

$x+2y = A$, $x+3y = B$とおくと、$y = B - A$, $x = 3A - 2B$となる。

これらを代入すると

$AB-(3A-2B)-5(B-A)-6 = AB - 3A + 2B - 5B + 5A - 6 = AB + 2A - 3B - 6 = A(B+2)-3(B+2) = (A-3)(B+2)$

ここで、$A = x+2y$, $B = x+3y$を代入すると、

$(x+2y-3)(x+3y+2)$

3. 最終的な答え

$(x+2y-3)(x+3y+2)$

### 54 (1)

1. 問題の内容

次の式を因数分解せよ。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

この式は、すべての変数について2次の項を持つ対称式です。

したがって、$a+b+c$の因数を持つと考えられます。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

と因数分解できます。

実際に展開すると、

$(a+b)(bc + c^2 + b^2 + bc) = (a+b)(b^2+2bc+c^2) = (a+b)(b+c)^2 = (a+b)(bc+b^2+c^2+bc) = abc + ab^2 + ac^2 + abc+b^2c+b^3+bc^2+b^2c$

これは元の式と一致しません。

ここで、式を整理して因数分解を試みます。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc = a^2(b+c) + a(b^2+2bc+c^2) + bc(b+c) = a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$(b+c)[a^2+a(b+c)+bc] = (b+c)(a^2+ab+ac+bc)=(b+c)[a(a+b)+c(a+b)] = (b+c)(a+b)(a+c) = (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$