a, b は実数とする。以下の各命題について、空欄に「必要条件であるが十分条件でない」、「十分条件であるが必要条件でない」、「必要十分条件である」のうち適切なものを入れ、いずれでもない場合は×印を入れる。 (1) $a = \sqrt{b^2}$ であることは、$a=b$ であるための〇〇条件である。 (2) $ab + 1 = a + b$ であることは、$a = 1$ または $b = 1$ であるための〇〇条件である。 (3) $|a| < 1$ かつ $|b| < 1$ であることは、$ab + 1 > a + b$ であるための〇〇条件である。 (4) A, B を2つの集合とする。a が A∪B の要素であることは、a が A の要素であるための〇〇条件である。

1. 問題の内容

a, b は実数とする。以下の各命題について、空欄に「必要条件であるが十分条件でない」、「十分条件であるが必要条件でない」、「必要十分条件である」のうち適切なものを入れ、いずれでもない場合は×印を入れる。

(1) $a = \sqrt{b^2}$ であることは、$a=b$ であるための〇〇条件である。

(2) $ab + 1 = a + b$ であることは、$a = 1$ または $b = 1$ であるための〇〇条件である。

(3) $|a| < 1$ かつ $|b| < 1$ であることは、$ab + 1 > a + b$ であるための〇〇条件である。

(4) A, B を2つの集合とする。a が A∪B の要素であることは、a が A の要素であるための〇〇条件である。

2. 解き方の手順

(1) $a = \sqrt{b^2}$ であることは、$a = |b|$ であることと同値である。

$a = |b|$ ならば $a = b$ とは限らない。たとえば、$b = -2$ のとき、$a = 2$ となる。

$a = b$ ならば $a = |b|$ とは限らない。$a = 2$ かつ $b = -2$ であれば、$a=b$は成り立たない。

したがって、$a = \sqrt{b^2}$ であることは、$a = b$ であるための必要条件でも十分条件でもない。

(2) $ab + 1 = a + b$ を変形すると、$ab - a - b + 1 = 0$ となり、$(a - 1)(b - 1) = 0$ となる。

これは、$a = 1$ または $b = 1$ と同値である。

したがって、$ab + 1 = a + b$ であることは、$a = 1$ または $b = 1$ であるための必要十分条件である。

(3) $|a| < 1$ かつ $|b| < 1$ ならば、$ab + 1 > a + b$ であるかどうかを調べる。

$ab + 1 - (a + b) = (a - 1)(b - 1)$ である。

$|a| < 1$ より $-1 < a < 1$ であるから、$a - 1 < 0$。

$|b| < 1$ より $-1 < b < 1$ であるから、$b - 1 < 0$。

したがって、$(a - 1)(b - 1) > 0$ となり、$ab + 1 > a + b$ である。

$ab + 1 > a + b$ ならば、$|a| < 1$ かつ $|b| < 1$ であるかどうかを調べる。

$ab + 1 > a + b$ より $(a - 1)(b - 1) > 0$ である。

これは、$a - 1 > 0$ かつ $b - 1 > 0$、または、$a - 1 < 0$ かつ $b - 1 < 0$ を意味する。

前者の場合、$a > 1$ かつ $b > 1$。後者の場合、$a < 1$ かつ $b < 1$。

$a > 1$ かつ $b > 1$ であれば、$|a| < 1$ かつ $|b| < 1$ は成り立たない。

したがって、$|a| < 1$ かつ $|b| < 1$ であることは、$ab + 1 > a + b$ であるための十分条件であるが必要条件ではない。

(4) a が A∪B の要素であることは、a が A の要素であるための条件を考える。

A∪B は A または B の要素である。

a が A∪B の要素であるとき、a が A の要素であるとは限らない。a が B の要素である場合もある。

a が A の要素であるとき、a は A∪B の要素である。

したがって、a が A∪B の要素であることは、a が A の要素であるための必要条件であるが十分条件ではない。

3. 最終的な答え

(1) ×

(2) 必要十分条件

(3) 十分条件であるが必要条件でない

(4) 必要条件であるが十分条件でない