与えられた連立一次方程式を行列で表現し、逆行列を用いて解く問題です。連立一次方程式は以下の通りです。 $x - 2y + 3z + 1 = 0$ $2x + y - 2z - 3 = 0$ $x + 3y + z + 2 = 0$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を行列で表現し、逆行列を用いて解く問題です。連立一次方程式は以下の通りです。

$x - 2y + 3z + 1 = 0$

$2x + y - 2z - 3 = 0$

$x + 3y + z + 2 = 0$

2. 解き方の手順

(1) 行列による表現

まず、連立一次方程式を行列の形式で表現します。定数項を右辺に移項すると、以下のようになります。

$x - 2y + 3z = -1$

$2x + y - 2z = 3$

$x + 3y + z = -2$

この連立一次方程式は、行列を用いて次のように表現できます。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$

これを$AX=B$と表すと、

$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$

(2) 逆行列による解法

連立一次方程式 $AX = B$ を解くために、行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。もし $A^{-1}$ が存在すれば、$X = A^{-1}B$ によって解 $X$ を求めることができます。

まず、$A$ の行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = 1(1 + 6) - (-2)(2 + 2) + 3(6 - 1) = 7 + 8 + 15 = 30$

$|A| \neq 0$ なので、逆行列 $A^{-1}$ が存在します。

次に、$A$ の余因子行列 $C$ を計算します。

$C_{11} = 7, C_{12} = -4, C_{13} = 5$

$C_{21} = 11, C_{22} = -2, C_{23} = -5$

$C_{31} = 1, C_{32} = 8, C_{33} = 5$

$C = \begin{pmatrix} 7 & -4 & 5 \\ 11 & -2 & -5 \\ 1 & 8 & 5 \end{pmatrix}$

$A$ の転置行列を求めます。

$C^T = \begin{pmatrix} 7 & 11 & 1 \\ -4 & -2 & 8 \\ 5 & -5 & 5 \end{pmatrix}$

逆行列 $A^{-1}$ は、$A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T$ で与えられます。

$A^{-1} = \frac{1}{30} \begin{pmatrix} 7 & 11 & 1 \\ -4 & -2 & 8 \\ 5 & -5 & 5 \end{pmatrix}$

したがって、

$X = A^{-1} B = \frac{1}{30} \begin{pmatrix} 7 & 11 & 1 \\ -4 & -2 & 8 \\ 5 & -5 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \frac{1}{30} \begin{pmatrix} -7 + 33 - 2 \\ 4 - 6 - 16 \\ -5 - 15 - 10 \end{pmatrix} = \frac{1}{30} \begin{pmatrix} 24 \\ -18 \\ -30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} \\ -\frac{3}{5} \\ -1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{4}{5}, y = -\frac{3}{5}, z = -1$