$a$ を定数とするとき、次の2つの方程式を解きます。 (1) $a^2x + 1 = a(x + 1)$ (2) $ax^2 + (a^2 - 1)x - a = 0$

1. 問題の内容

$a$ を定数とするとき、次の2つの方程式を解きます。

(1) $a^2x + 1 = a(x + 1)$

(2) $ax^2 + (a^2 - 1)x - a = 0$

2. 解き方の手順

(1) $a^2x + 1 = a(x + 1)$ を解きます。

まず、右辺を展開します。

$a^2x + 1 = ax + a$

次に、$x$ の項を左辺に、定数項を右辺に移項します。

$a^2x - ax = a - 1$

$x$ でくくります。

$(a^2 - a)x = a - 1$

$a(a - 1)x = a - 1$

場合分けをします。

(i) $a(a-1) \ne 0$ つまり $a \ne 0$ かつ $a \ne 1$ のとき：

$x = \frac{a - 1}{a(a - 1)} = \frac{1}{a}$

(ii) $a = 0$ のとき：

$0 \cdot x = -1$ となり、これを満たす $x$ は存在しません。よって、解なし。

(iii) $a = 1$ のとき：

$0 \cdot x = 0$ となり、これは全ての $x$ で成り立ちます。よって、解は全ての実数。

(2) $ax^2 + (a^2 - 1)x - a = 0$ を解きます。

(i) $a=0$ のとき

$-x=0$となるため、$x=0$

(ii) $a \ne 0$ のとき

$ax^2 + (a^2 - 1)x - a = 0$

因数分解を試みます。

$(ax - 1)(x + a) = 0$

よって、$ax - 1 = 0$ または $x + a = 0$

$ax = 1$ より $x = \frac{1}{a}$

$x + a = 0$ より $x = -a$

したがって、$x = \frac{1}{a}, -a$

3. 最終的な答え

(1)

$a \ne 0$ かつ $a \ne 1$ のとき： $x = \frac{1}{a}$

$a = 0$ のとき： 解なし

$a = 1$ のとき： 解は全ての実数

(2)

$a=0$のとき： $x=0$

$a \ne 0$のとき： $x = \frac{1}{a}, -a$