xとyが実数であるとき、以下の(1)から(5)について、AはBであるための必要条件、十分条件、必要十分条件、または必要条件でも十分条件でもないのどれに当てはまるかを答える問題です。 (1) A: $x=3$、B: $x^2 = 3x$ (2) A: $x^2 = y^2$、B: $x = y$ (3) A: $x > y$、B: $x^2 > y^2$ (4) A: $x^2 + y^2 = 0$、B: $x = y = 0$ (5) A: xとyが有理数、B: x+yが有理数 選択肢は以下の通りです。 ① 必要条件であるが十分条件ではない ② 十分条件であるが必要条件ではない ③ 必要十分条件である ④ 必要条件でも十分条件でもない

1. 問題の内容

xとyが実数であるとき、以下の(1)から(5)について、AはBであるための必要条件、十分条件、必要十分条件、または必要条件でも十分条件でもないのどれに当てはまるかを答える問題です。

(1) A: $x=3$、B: $x^2 = 3x$

(2) A: $x^2 = y^2$、B: $x = y$

(3) A: $x > y$、B: $x^2 > y^2$

(4) A: $x^2 + y^2 = 0$、B: $x = y = 0$

(5) A: xとyが有理数、B: x+yが有理数

選択肢は以下の通りです。

① 必要条件であるが十分条件ではない

② 十分条件であるが必要条件ではない

③ 必要十分条件である

④ 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1) $x=3$ ならば $x^2 = 3x$ は成り立ちます($3^2 = 3 \times 3 = 9$)。しかし、$x^2 = 3x$ ならば $x=0$ または $x=3$ なので、$x=3$とは限りません。したがって、AはBであるための十分条件ですが、必要条件ではありません。答えは②。

(2) $x^2 = y^2$ ならば $|x| = |y|$ なので、$x=y$ または $x=-y$ です。したがって、$x=y$ とは限りません。逆に、$x=y$ ならば $x^2 = y^2$ は成り立ちます。したがって、AはBであるための必要条件ですが、十分条件ではありません。答えは①。

(3) $x > y$ ならば、$x^2 > y^2$ とは限りません。例えば、$x=1$, $y=-2$ とすると、$x>y$ですが、$x^2 = 1$, $y^2 = 4$ で、$x^2 < y^2$ となります。逆に、$x^2 > y^2$ かつ $x>0$, $y>0$ ならば、$x>y$ です。$x^2 > y^2$ かつ $x<0$, $y<0$ ならば、$x<y$ です。$x=2$, $y=-1$とすると、$x^2 > y^2$で$x>y$です。しかし、$x=-1$, $y=-2$とすると、$x^2 > y^2$で$x>y$ではありません。したがって、AはBであるための必要条件でも十分条件でもありません。答えは④。

(4) $x^2 + y^2 = 0$ は、$x$と$y$が実数のとき、$x=0$かつ$y=0$と同値です。$x=y=0$ならば、$x^2 + y^2 = 0$ です。したがって、AはBであるための必要十分条件です。答えは③。

(5) xとyが有理数ならば、x+yも有理数です。逆に、x+yが有理数でも、xとyがともに有理数とは限りません。例えば、$x = \sqrt{2}$, $y = 1 - \sqrt{2}$とすると、$x+y = 1$で有理数ですが、$x$は無理数です。したがって、AはBであるための十分条件ですが、必要条件ではありません。答えは②。

3. 最終的な答え

(1) ②

(2) ①

(3) ④

(4) ③

(5) ②