写像 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ が $f\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2x + 3y \\ 2y - 6z \end{bmatrix}$ で定義されているとき、この写像が線形写像であるかどうかを判定し、線形写像である場合はその表現行列を求める問題です。

1. 問題の内容

写像 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ が $f\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2x + 3y \\ 2y - 6z \end{bmatrix}$ で定義されているとき、この写像が線形写像であるかどうかを判定し、線形写像である場合はその表現行列を求める問題です。

2. 解き方の手順

写像 $f$ が線形写像であるためには、任意のベクトル $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^3$ とスカラー $c$ に対して、以下の2つの条件を満たす必要があります。

(1) $f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v})$

(2) $f(c\mathbf{u}) = cf(\mathbf{u})$

まず、$\mathbf{u} = \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{bmatrix}$ と $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{bmatrix}$ に対して、条件(1)を確認します。

$f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = f\left(\begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2(x_1 + x_2) + 3(y_1 + y_2) \\ 2(y_1 + y_2) - 6(z_1 + z_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 + 2x_2 + 3y_1 + 3y_2 \\ 2y_1 + 2y_2 - 6z_1 - 6z_2 \end{bmatrix}$

$f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v}) = \begin{bmatrix} 2x_1 + 3y_1 \\ 2y_1 - 6z_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2x_2 + 3y_2 \\ 2y_2 - 6z_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 + 3y_1 + 2x_2 + 3y_2 \\ 2y_1 - 6z_1 + 2y_2 - 6z_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 + 2x_2 + 3y_1 + 3y_2 \\ 2y_1 + 2y_2 - 6z_1 - 6z_2 \end{bmatrix}$

したがって、$f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v})$ が成立します。

次に、条件(2)を確認します。

$f(c\mathbf{u}) = f\left(\begin{bmatrix} cx_1 \\ cy_1 \\ cz_1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2(cx_1) + 3(cy_1) \\ 2(cy_1) - 6(cz_1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c(2x_1 + 3y_1) \\ c(2y_1 - 6z_1) \end{bmatrix} = c\begin{bmatrix} 2x_1 + 3y_1 \\ 2y_1 - 6z_1 \end{bmatrix}$

$cf(\mathbf{u}) = c\begin{bmatrix} 2x_1 + 3y_1 \\ 2y_1 - 6z_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c(2x_1 + 3y_1) \\ c(2y_1 - 6z_1) \end{bmatrix}$

したがって、$f(c\mathbf{u}) = cf(\mathbf{u})$ が成立します。

上記より、写像 $f$ は線形写像であることがわかります。

次に、標準基底 $\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \mathbf{e}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ に対する $f(\mathbf{e}_1), f(\mathbf{e}_2), f(\mathbf{e}_3)$ を計算します。

$f(\mathbf{e}_1) = f\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2(1) + 3(0) \\ 2(0) - 6(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix}$

$f(\mathbf{e}_2) = f\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2(0) + 3(1) \\ 2(1) - 6(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}$

$f(\mathbf{e}_3) = f\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2(0) + 3(0) \\ 2(0) - 6(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -6 \end{bmatrix}$

したがって、表現行列は各 $f(\mathbf{e}_i)$ を列ベクトルとする行列で与えられます。

3. 最終的な答え

写像 $f$ は線形写像であり、その表現行列は

$\begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & -6 \end{bmatrix}$

です。