$x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ のとき、次の2つの式の値を求める問題です。 (1) $x^2 - x - 1$ (2) $x^4 - 2x^3 + 1$

1. 問題の内容

$x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ のとき、次の2つの式の値を求める問題です。

(1) $x^2 - x - 1$

(2) $x^4 - 2x^3 + 1$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - x - 1$ の値を求める

まず、$x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ を変形します。

$2x = 1-\sqrt{5}$

$2x - 1 = -\sqrt{5}$

両辺を2乗すると

$(2x - 1)^2 = (-\sqrt{5})^2$

$4x^2 - 4x + 1 = 5$

$4x^2 - 4x - 4 = 0$

両辺を4で割ると

$x^2 - x - 1 = 0$

(2) $x^4 - 2x^3 + 1$ の値を求める

$x^2 - x - 1 = 0$ より $x^2 = x+1$

$x^3 = x(x^2) = x(x+1) = x^2 + x = (x+1) + x = 2x + 1$

$x^4 = x(x^3) = x(2x+1) = 2x^2 + x = 2(x+1) + x = 3x + 2$

よって、

$x^4 - 2x^3 + 1 = (3x+2) - 2(2x+1) + 1 = 3x+2 - 4x - 2 + 1 = -x + 1$

$x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ を代入すると

$-x + 1 = -\frac{1-\sqrt{5}}{2} + 1 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - x - 1 = 0$

(2) $x^4 - 2x^3 + 1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$