$a$ は 0 でない定数とする。すべての $x$ に対して、$ax^2 + 2ax - 3 + \frac{4}{a} < 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a$ は 0 でない定数とする。すべての $x$ に対して、$ax^2 + 2ax - 3 + \frac{4}{a} < 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

すべての $x$ に対して $ax^2 + 2ax - 3 + \frac{4}{a} < 0$ が成り立つためには、以下の2つの条件を満たす必要がある。

* $a < 0$ (上に凸の放物線であること)

* 判別式 $D < 0$ (実数解を持たないこと)

まず、$a < 0$ である必要がある。次に、判別式 $D$ を計算する。

$D = (2a)^2 - 4(a)(-3 + \frac{4}{a}) = 4a^2 - 4a(-3 + \frac{4}{a}) = 4a^2 + 12a - 16$

$D < 0$ より、

$4a^2 + 12a - 16 < 0$

$a^2 + 3a - 4 < 0$

$(a + 4)(a - 1) < 0$

$-4 < a < 1$

$a < 0$ という条件と $-4 < a < 1$ という条件の両方を満たす $a$ の範囲は、 $-4 < a < 0$ である。

3. 最終的な答え

$-4 < a < 0$