次の3つの問題に答えよ。 (1) $y$ が $x$ の2次関数で、原点と点 $(1, 2)$ を通るとき、$y$ を $x$ の式で表せ。 (2) $y$ が $x$ の2次関数で、2点 $(1, 4)$ と $(3, 36)$ を通るとき、$y$ を $x$ の式で表せ。 (3) $y$ が $x$ の2次関数で、頂点が $(2, 3)$ のとき、$y$ を $x$ の式で表せ。

1. 問題の内容

次の3つの問題に答えよ。

(1) $y$ が $x$ の2次関数で、原点と点 $(1, 2)$ を通るとき、$y$ を $x$ の式で表せ。

(2) $y$ が $x$ の2次関数で、2点 $(1, 4)$ と $(3, 36)$ を通るとき、$y$ を $x$ の式で表せ。

(3) $y$ が $x$ の2次関数で、頂点が $(2, 3)$ のとき、$y$ を $x$ の式で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $y$ が $x$ の2次関数なので、$y = ax^2 + bx + c$ と表せる。

原点 $(0, 0)$ を通るので、$0 = a(0)^2 + b(0) + c$ より $c = 0$。

よって、$y = ax^2 + bx$ となる。

点 $(1, 2)$ を通るので、$2 = a(1)^2 + b(1)$ より $a + b = 2$。したがって、$b = 2 - a$。

よって、$y = ax^2 + (2 - a)x$ となる。この式は2次関数であれば、$a$ は何でも良い。例えば、$a = 1$ とすると、$y = x^2 + x$。$a=2$とすると、$y=2x^2+0x=2x^2$となる。どちらも条件を満たす。ここでは、 $y=2x^2$とする.

(2) $y$ が $x$ の2次関数なので、$y = ax^2 + bx + c$ と表せる。

点 $(1, 4)$ を通るので、$4 = a(1)^2 + b(1) + c$ より $a + b + c = 4$。

点 $(3, 36)$ を通るので、$36 = a(3)^2 + b(3) + c$ より $9a + 3b + c = 36$。

連立方程式

$a + b + c = 4$

$9a + 3b + c = 36$

を解く。2番目の式から1番目の式を引くと、$8a + 2b = 32$ より $4a + b = 16$。したがって、$b = 16 - 4a$。

$a + (16 - 4a) + c = 4$ より $-3a + c = -12$。したがって、$c = 3a - 12$。

よって、$y = ax^2 + (16 - 4a)x + (3a - 12)$ となる。

例えば、$a=1$とすると、$y=x^2+12x-9$。$x=1$のとき、$y=1+12-9=4$、$x=3$のとき、$y=9+36-9=36$。

$a=2$とすると、$y=2x^2+8x-6$。$x=1$のとき、$y=2+8-6=4$、$x=3$のとき、$y=18+24-6=36$。

ここでは、$a = 4$ とする。

$y = 4x^2 + (16 - 4(4))x + (3(4) - 12)$

$y = 4x^2 + 0x + 0$

$y = 4x^2$

$x=1$のとき、$y=4$。$x=3$のとき、$y=36$。

(3) 頂点が $(2, 3)$ なので、$y = a(x - 2)^2 + 3$ と表せる。

$y = a(x^2 - 4x + 4) + 3 = ax^2 - 4ax + 4a + 3$

$a$ は任意の実数なので、ここでは $a = 1$ とする。

$y = (x - 2)^2 + 3 = x^2 - 4x + 4 + 3 = x^2 - 4x + 7$

$x=2$のとき、$y=4-8+7=3$。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2$

(2) $y = 4x^2$

(3) $y = x^2 - 4x + 7$