(1) 行列 $A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & 1 \\ 2 & 1 & -5 & 0 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}$ を行基本変形によって階段行列に変形し、階数を求める。 (2) 行列 $A_2 = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -1 & -1 & -1 \\ 2 & 4 & -2 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ を行基本変形によって被約階段行列（行簡約形）に変形し、階数を求める。

1. 問題の内容

(1) 行列 $A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & 1 \\ 2 & 1 & -5 & 0 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}$ を行基本変形によって階段行列に変形し、階数を求める。

(2) 行列 $A_2 = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -1 & -1 & -1 \\ 2 & 4 & -2 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ を行基本変形によって被約階段行列（行簡約形）に変形し、階数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

行列 $A_1$ を階段行列に変形する。

1行目を基準に、2行目から2倍の1行目を引き、3行目から1行目を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & 1 \\ 2 & 1 & -5 & 0 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1, R_3 - R_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

2行目に -1 をかける。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{-R_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

階段行列になったので、階数は0でない行の数である2となる。

(2)

行列 $A_2$ を被約階段行列に変形する。

1行目に -1 をかける。

$\begin{pmatrix} -1 & -2 & -1 & -1 & -1 \\ 2 & 4 & -2 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{-R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

2行目から2倍の1行目を引き、3行目に1行目を足す。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1, R_3 + R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

3行目と4行目を入れ替える。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 \leftrightarrow R_4} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

3行目と4行目を入れ替える。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 \leftrightarrow R_4} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

3行目を2倍して2行目に足す。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 + 2R_3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

2行目と3行目を入れ替える。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftrightarrow R_3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

4行目から3行目を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_4 - R_3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

2行目を1/2倍し、3行目に -1 をかける。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{\frac{1}{2}R_2, -R_3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1行目から1行目を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 - R_2, R_1 - R_3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 - R_3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

被約階段行列になったので、階数は0でない行の数である3となる。

3. 最終的な答え

(1) 階段行列: $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, 階数: 2

(2) 被約階段行列: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, 階数: 3