$x = \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}$、 $y = \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}$ のとき、$x^2y + xy^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}$、 $y = \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}$ のとき、$x^2y + xy^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2} = \frac{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{5 + 4\sqrt{5} + 4}{5 - 4} = 9 + 4\sqrt{5}$

$y = \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2} = \frac{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = \frac{5 - 4\sqrt{5} + 4}{5 - 4} = 9 - 4\sqrt{5}$

次に、求めたい式 $x^2y + xy^2$ を因数分解します。

$x^2y + xy^2 = xy(x+y)$

$x+y$と$xy$をそれぞれ計算します。

$x+y = (9 + 4\sqrt{5}) + (9 - 4\sqrt{5}) = 18$

$xy = (9 + 4\sqrt{5})(9 - 4\sqrt{5}) = 81 - 16 \times 5 = 81 - 80 = 1$

したがって、

$x^2y + xy^2 = xy(x+y) = 1 \times 18 = 18$

3. 最終的な答え

18