$x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めます。 (1) $x^2 - x - 1$ (2) $x^4 - 2x^3 + 1$

1. 問題の内容

$x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めます。

(1) $x^2 - x - 1$

(2) $x^4 - 2x^3 + 1$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - x - 1$ の値を求めます。

$x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ を与えられた式に代入します。

$x^2 = (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

$x^2 - x - 1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{3 - \sqrt{5} - 1 + \sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{2}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$

(2) $x^4 - 2x^3 + 1$ の値を求めます。

$x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ より、$2x = 1 - \sqrt{5}$。よって $\sqrt{5} = 1 - 2x$

両辺を2乗すると、$5 = (1 - 2x)^2 = 1 - 4x + 4x^2$

$4x^2 - 4x - 4 = 0$

$x^2 - x - 1 = 0$

$x^2 = x + 1$

$x^3 = x \cdot x^2 = x(x+1) = x^2 + x = (x+1) + x = 2x + 1$

$x^4 = (x^2)^2 = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 = (x+1) + 2x + 1 = 3x + 2$

よって、$x^4 - 2x^3 + 1 = (3x+2) - 2(2x+1) + 1 = 3x + 2 - 4x - 2 + 1 = -x + 1 = -(\frac{1-\sqrt{5}}{2}) + 1 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2} + 1 = \frac{-1+\sqrt{5}+2}{2} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $0$

(2) $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$