$\pi < \alpha < \frac{3}{2}\pi$, $\cos \alpha = -\frac{3}{4}$のとき、$\cos 2\alpha$, $\sin 2\alpha$, $\tan 2\alpha$をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

$\pi < \alpha < \frac{3}{2}\pi$, $\cos \alpha = -\frac{3}{4}$のとき、$\cos 2\alpha$, $\sin 2\alpha$, $\tan 2\alpha$をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\alpha$を求めます。

$\cos 2\alpha$の公式は、$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$です。

$\cos \alpha = -\frac{3}{4}$を代入すると、

$\cos 2\alpha = 2\left(-\frac{3}{4}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{9}{16}\right) - 1 = \frac{18}{16} - 1 = \frac{9}{8} - 1 = \frac{1}{8}$

次に、$\sin 2\alpha$を求めます。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$より、$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\pi < \alpha < \frac{3}{2}\pi$なので、$\sin \alpha < 0$。よって、$\sin \alpha = -\sqrt{\frac{7}{16}} = -\frac{\sqrt{7}}{4}$

$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2\left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{6\sqrt{7}}{16} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$

最後に、$\tan 2\alpha$を求めます。

$\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\frac{3\sqrt{7}}{8}}{\frac{1}{8}} = 3\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$\cos 2\alpha = \frac{1}{8}$

$\sin 2\alpha = \frac{3\sqrt{7}}{8}$

$\tan 2\alpha = 3\sqrt{7}$