2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 6 = 0$ が、1より大きい異なる2つの実数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 6 = 0$ が、1より大きい異なる2つの実数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式を $f(x) = x^2 - 2mx + m + 6$ とおく。この方程式が1より大きい異なる2つの解を持つための条件は、以下の3つである。

(1) 判別式 $D > 0$ （異なる2つの実数解を持つ条件）

(2) 軸 $m > 1$ （2つの解がともに1より大きい条件）

(3) $f(1) > 0$ （2つの解がともに1より大きい条件）

これらの条件をそれぞれ計算していく。

(1) 判別式 $D$ について

$D = (-2m)^2 - 4(1)(m+6) = 4m^2 - 4m - 24$

$D > 0$ より

$4m^2 - 4m - 24 > 0$

$m^2 - m - 6 > 0$

$(m-3)(m+2) > 0$

よって、$m < -2$ または $m > 3$

(2) 軸について

$f(x) = (x-m)^2 - m^2 + m + 6$ であるから、軸は $x=m$ である。

$m > 1$

(3) $f(1)$ について

$f(1) = 1^2 - 2m(1) + m + 6 = 1 - 2m + m + 6 = -m + 7$

$f(1) > 0$ より

$-m + 7 > 0$

$m < 7$

(1), (2), (3) のすべての条件を満たす $m$ の範囲を求める。

(1) $m < -2$ または $m > 3$

(2) $m > 1$

(3) $m < 7$

数直線を書いて考えると、$3 < m < 7$ となる。

3. 最終的な答え

$3 < m < 7$