3次方程式 $x^3 - 4x^2 + (m-12)x + 2m = 0$ が2重解を持つとき、定数 $m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 4x^2 + (m-12)x + 2m = 0$ が2重解を持つとき、定数 $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^3 - 4x^2 + (m-12)x + 2m$ とおく。

$x$ に特定の値を代入して $f(x) = 0$ となるような $x$ を見つける。

$x = -2$ を代入すると、

$f(-2) = (-2)^3 - 4(-2)^2 + (m-12)(-2) + 2m = -8 - 16 - 2m + 24 + 2m = 0$

となるので、$x = -2$ は方程式の解の一つである。

よって、$f(x)$ は $x+2$ を因数に持つ。

$f(x)$ を $x+2$ で割ると、

$x^3 - 4x^2 + (m-12)x + 2m = (x+2)(x^2 - 6x + m)$

となる。

3次方程式が2重解を持つためには、次のいずれかが成り立つ必要がある。

(i) $x^2 - 6x + m = 0$ が $x = -2$ を解に持つ場合。

(ii) $x^2 - 6x + m = 0$ が重解を持つ場合。

(i) の場合、$x = -2$ を $x^2 - 6x + m = 0$ に代入すると、

$(-2)^2 - 6(-2) + m = 0$

$4 + 12 + m = 0$

$m = -16$

このとき、$x^2 - 6x - 16 = 0$ となり、$(x-8)(x+2) = 0$ より、$x = 8, -2$。

よって、$f(x) = (x+2)^2(x-8) = 0$ となり、$x = -2$ は2重解である。

(ii) の場合、$x^2 - 6x + m = 0$ が重解を持つとき、判別式 $D = 0$ となる。

$D = (-6)^2 - 4(1)(m) = 36 - 4m = 0$

$4m = 36$

$m = 9$

このとき、$x^2 - 6x + 9 = 0$ となり、$(x-3)^2 = 0$ より、$x = 3$ は重解である。

よって、$f(x) = (x+2)(x-3)^2 = 0$ となり、$x = 3$ は2重解である。

したがって、$m = -16$ または $m = 9$ である。

3. 最終的な答え

$m = -16, 9$