問題は4つの小問から構成されています。 (1) 軸が $x=-2$ で、2点 $(0, -1), (-3, -4)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求める。 (2) 3点 $(0, 17), (1, 7), (2, 1)$ を通る放物線をグラフとする2次関数を求める。 (3) $x$軸と2点 $(-2, 0), (3, 0)$ で交わり、$y$軸と点 $(0, 6)$ で交わる2次関数を求める。 (4) 2次関数 $y=2x^2+3x-5$ のグラフを平行移動して得られる曲線で2点 $(0, -14), (2, 4)$ を通る曲線の方程式を求める。

1. 問題の内容

問題は4つの小問から構成されています。

(1) 軸が $x=-2$ で、2点 $(0, -1), (-3, -4)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求める。

(2) 3点 $(0, 17), (1, 7), (2, 1)$ を通る放物線をグラフとする2次関数を求める。

(3) $x$軸と2点 $(-2, 0), (3, 0)$ で交わり、$y$軸と点 $(0, 6)$ で交わる2次関数を求める。

(4) 2次関数 $y=2x^2+3x-5$ のグラフを平行移動して得られる曲線で2点 $(0, -14), (2, 4)$ を通る曲線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 求める2次関数を $y=a(x+2)^2+q$ とおく。点 $(0, -1)$ を通るから、

$-1 = a(0+2)^2+q$ より $-1 = 4a + q$。

点 $(-3, -4)$ を通るから、

$-4 = a(-3+2)^2+q$ より $-4 = a + q$。

2つの式を連立して解くと、

$3a = 3$ より $a = 1$。$q = -5$。

したがって、$y=(x+2)^2-5 = x^2+4x-1$。

(2) 求める2次関数を $y=ax^2+bx+c$ とおく。

点 $(0, 17)$ を通るから、$17 = a(0)^2+b(0)+c$ より $c=17$。

点 $(1, 7)$ を通るから、$7 = a(1)^2+b(1)+17$ より $a+b = -10$。

点 $(2, 1)$ を通るから、$1 = a(2)^2+b(2)+17$ より $4a+2b = -16$ すなわち $2a+b = -8$。

$2a+b = -8$ と $a+b = -10$ の差をとると、$a = 2$。$b = -12$。

したがって、$y=2x^2-12x+17$。

(3) $x$軸と2点 $(-2, 0), (3, 0)$ で交わるから、求める2次関数は $y=a(x+2)(x-3)$ と表せる。

$y$軸と点 $(0, 6)$ で交わるから、$6 = a(0+2)(0-3)$ より $6 = -6a$。したがって、$a=-1$。

よって、$y=-(x+2)(x-3) = -(x^2-x-6) = -x^2+x+6$。

(4) 平行移動によって $x$ が $x-p$, $y$ が $y-q$ に置き換わると考える。

したがって、平行移動後のグラフの方程式は $y-q = 2(x-p)^2+3(x-p)-5$。

すなわち、$y = 2(x-p)^2+3(x-p)-5+q$。

点 $(0, -14)$ を通るから、$-14 = 2(-p)^2+3(-p)-5+q$ より $2p^2-3p+5+q = -14$。

点 $(2, 4)$ を通るから、$4 = 2(2-p)^2+3(2-p)-5+q$ より $2(4-4p+p^2)+6-3p-5+q = 4$。すなわち、$2p^2-11p+9+q=4$。

$2p^2-3p+5+q = -14$ より $2p^2-3p+q = -19$。

$2p^2-11p+9+q = 4$ より $2p^2-11p+q = -5$。

2式の差をとると、$8p = -14$。よって、$p = -\frac{7}{4}$。

$2(\frac{49}{16}) - 3(-\frac{7}{4}) + q = -19$ より $\frac{49}{8}+\frac{21}{4}+q = -19$。

$\frac{49}{8} + \frac{42}{8} + q = -19$ より $\frac{91}{8} + q = -19$。

$q = -19 - \frac{91}{8} = -\frac{152}{8} - \frac{91}{8} = -\frac{243}{8}$。

よって、$y = 2(x+\frac{7}{4})^2 + 3(x+\frac{7}{4}) - 5 - \frac{243}{8} = 2(x^2+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16})+3x+\frac{21}{4}-5-\frac{243}{8} = 2x^2+7x+\frac{49}{8}+3x+\frac{42}{8}-\frac{40}{8}-\frac{243}{8} = 2x^2+10x-\frac{192}{8} = 2x^2+10x-24$。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 + 4x - 1$

(2) $y = 2x^2 - 12x + 17$

(3) $y = -x^2 + x + 6$

(4) $y = 2x^2 + 10x - 24$