問8と問9のベクトルに関する問題です。 * 問8 (1) ベクトルの大きさの計算: 与えられた成分表示のベクトルの大きさを求める。 * 問8 (2) 図からベクトルの大きさを読み取る: 図に示されたベクトルの大きさを求める。 * 問9 ベクトルの成分計算と大きさ: 与えられたベクトルに対して、定数倍やベクトルの和差を行い、その結果を成分表示で表し、さらにその大きさを求める。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問8と問9のベクトルに関する問題です。

* 問8 (1) ベクトルの大きさの計算: 与えられた成分表示のベクトルの大きさを求める。

* 問8 (2) 図からベクトルの大きさを読み取る: 図に示されたベクトルの大きさを求める。

* 問9 ベクトルの成分計算と大きさ: 与えられたベクトルに対して、定数倍やベクトルの和差を行い、その結果を成分表示で表し、さらにその大きさを求める。

2. 解き方の手順

問8 (1): ベクトルの大きさは、各成分の2乗の和の平方根で求めます。

* ① $\vec{a}=(1, 2)$ の大きさ: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

* ② $\vec{b}=(-6, 8)$ の大きさ: $|\vec{b}| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$

問8 (2): 図からベクトルの成分を読み取り、大きさを計算します。

* ① $\vec{a}$: x成分は2、y成分は2なので$\vec{a} = (2, 2)$。大きさは$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

* ② $\vec{b}$: x成分は-4、y成分は-1なので$\vec{b} = (-4, -1)$。大きさは$|\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$

* ③ $\vec{c}$: x成分は0、y成分は-3なので$\vec{c} = (0, -3)$。大きさは$|\vec{c}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9} = 3$

* ④ $\vec{d}$: x成分は-2、y成分は2なので$\vec{d} = (-2, 2)$。大きさは$|\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

問9: ベクトルの演算を行い、成分表示と大きさを求めます。

* (1) $3\vec{a}$:

$3\vec{a} = 3(1, -3) = (3, -9)$

$|3\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-9)^2} = \sqrt{9+81} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

* (2) $-2\vec{b}$:

$-2\vec{b} = -2(-2, 1) = (4, -2)$

$|-2\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

* (3) $3(2\vec{a}-3\vec{b})-4(\vec{a}-2\vec{b})$:

まず、式を整理します。

$3(2\vec{a}-3\vec{b})-4(\vec{a}-2\vec{b}) = 6\vec{a} - 9\vec{b} - 4\vec{a} + 8\vec{b} = 2\vec{a} - \vec{b}$

$2\vec{a} - \vec{b} = 2(1, -3) - (-2, 1) = (2, -6) - (-2, 1) = (4, -7)$

$|2\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$

3. 最終的な答え

問8

* (1) ① $|\vec{a}| = \sqrt{5}$ ② $|\vec{b}| = 10$

* (2) ① $|\vec{a}| = 2\sqrt{2}$ ② $|\vec{b}| = \sqrt{17}$ ③ $|\vec{c}| = 3$ ④ $|\vec{d}| = 2\sqrt{2}$

問9

* (1) $3\vec{a} = (3, -9)$, $|3\vec{a}| = 3\sqrt{10}$

* (2) $-2\vec{b} = (4, -2)$, $|-2\vec{b}| = 2\sqrt{5}$

* (3) $3(2\vec{a}-3\vec{b})-4(\vec{a}-2\vec{b}) = (4, -7)$, $|3(2\vec{a}-3\vec{b})-4(\vec{a}-2\vec{b})| = \sqrt{65}$