与えられた式 $6x^2 - xy - 2y^2 - 14x + 7y + 4$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $6x^2 - xy - 2y^2 - 14x + 7y + 4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ について整理します。

$6x^2 + (-y - 14)x + (-2y^2 + 7y + 4)$

次に、定数項を因数分解します。

$-2y^2 + 7y + 4 = -(2y^2 - 7y - 4) = -(2y+1)(y-4)$

式全体が $(ax+by+c)(dx+ey+f)$ の形に因数分解できると仮定します。

$6x^2 - xy - 2y^2 - 14x + 7y + 4 = (2x+y)(3x-2y) ...$と仮定して係数を調整していきます。

定数項の候補は (4,1)または(-4, -1)などです。

$6x^2 - xy - 2y^2 - 14x + 7y + 4 = (2x - y + a)(3x + 2y + b)$とおいてみます。

式を展開して整理します。

$6x^2 + 4xy + 2bx - 3xy - 2y^2 - by + 3ax + 2ay + ab \\ = 6x^2 + xy - 2y^2 + (2b+3a)x + (2a-b)y + ab$

与えられた式と比較すると、

$2b+3a = -14$

$2a-b = 7$

$ab = 4$

2番目の式より、$b = 2a - 7$

これを1番目の式に代入すると、 $2(2a - 7) + 3a = -14$, $4a - 14 + 3a = -14$, $7a = 0$, よって $a = 0$

このとき、$b = -7$となり、$ab = 4$という条件を満たしません。

もう一度、定数項 $-2y^2 + 7y + 4$ に注目し、因数分解の形を $(ax+by+c)(dx+ey+f)$ と考える代わりに、与えられた式を平方完成のような形にできないか検討します。

$6x^2-xy-2y^2-14x+7y+4 = (2x-y-4)(3x+2y-1)$と予想して展開してみます。

$(2x-y-4)(3x+2y-1) = 6x^2+4xy-2x-3xy-2y^2+y-12x-8y+4 = 6x^2+xy-2y^2-14x-7y+4$

符号が合わない部分があるので、以下の式を検討してみます。

$(3x - 2y - 1)(2x + y - 4) = 6x^2 + 3xy - 12x - 4xy - 2y^2 + 8y - 2x - y + 4 = 6x^2 - xy - 2y^2 - 14x + 7y + 4$

3. 最終的な答え

$(3x - 2y - 1)(2x + y - 4)$