与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 4 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$であり、$|A|$は行列式、$adj(A)$は余因子行列です。行列式は問題文より$|A|=7$と与えられています。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 4 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$であり、$|A|$は行列式、$adj(A)$は余因子行列です。行列式は問題文より$|A|=7$と与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$A$の余因子行列 $adj(A)$ を計算します。余因子行列の各要素は、元の行列の対応する要素の余因子です。

$A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 4 \end{pmatrix}$

余因子は以下の通りです。

$C_{11} = (-2)(4) - (0)(-2) = -8$

$C_{12} = -(1)(4) - (0)(0) = -4$

$C_{13} = (1)(-2) - (-2)(0) = -2$

$C_{21} = -((-2)(4) - (-1)(-2)) = -(-8-2) = 10$

$C_{22} = (2)(4) - (-1)(0) = 8$

$C_{23} = -(2(-2) - (-2)(0)) = -(-4) = 4$

$C_{31} = (-2)(0) - (-1)(-2) = 0-2 = -2$

$C_{32} = -(2(0) - (-1)(1)) = -(0+1) = -1$

$C_{33} = (2)(-2) - (-2)(1) = -4+2 = -2$

余因子行列は

$C = \begin{pmatrix} -8 & -4 & -2 \\ 10 & 8 & 4 \\ -2 & -1 & -2 \end{pmatrix}$

余因子行列の転置行列が$adj(A)$です。

$adj(A) = C^T = \begin{pmatrix} -8 & 10 & -2 \\ -4 & 8 & -1 \\ -2 & 4 & -2 \end{pmatrix}$

逆行列 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$ なので、

$A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -8 & 10 & -2 \\ -4 & 8 & -1 \\ -2 & 4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8/7 & 10/7 & -2/7 \\ -4/7 & 8/7 & -1/7 \\ -2/7 & 4/7 & -2/7 \end{pmatrix}$

したがって、

イ = -8/7

ウ = 10/7

エ = -2/7

オ = -4/7

カ = 8/7

キ = -1/7

ク = -2/7

ケ = 4/7

コ = -2/7

3. 最終的な答え

ア = 7

イ = -8/7

ウ = 10/7

エ = -2/7

オ = -4/7

カ = 8/7

キ = -1/7

ク = -2/7

ケ = 4/7

コ = -2/7