$a$ は正の実数であり、実数 $5a$ の小数部分が $a$ と等しいとき、$a$ の値をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の実数であり、実数 $5a$ の小数部分が $a$ と等しいとき、$a$ の値をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

$5a$ を整数部分と小数部分に分けて考えます。整数部分を $n$ とすると、

$5a = n + a$

と表すことができます。ここで、$n$ は整数であり、$0 \le a < 1$ です。

上の式を整理すると、

$4a = n$

$a = \frac{n}{4}$

$a$ は正の実数であるので、$n$ は正の整数です。

また、$0 \le a < 1$ より、

$0 \le \frac{n}{4} < 1$

$0 \le n < 4$

$n$ は正の整数なので、$n = 1, 2, 3$

それぞれの $n$ に対する $a$ の値を求めます。

$n=1$ のとき、$a = \frac{1}{4}$

$n=2$ のとき、$a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$n=3$ のとき、$a = \frac{3}{4}$

これらはすべて $0 \le a < 1$ を満たします。

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}$