(1) 等差数列 $48, 44, 40, \dots, 8$ の和 $S$ を求めよ。 (2) 初項 $-7$, 公比 $8$ の等比数列の第 $(2n+1)$ 項から第 $3n$ 項までの和 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 等差数列 $48, 44, 40, \dots, 8$ の和 $S$ を求めよ。

(2) 初項 $-7$, 公比 $8$ の等比数列の第 $(2n+1)$ 項から第 $3n$ 項までの和 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列 $48, 44, 40, \dots, 8$ について、初項 $a = 48$, 公差 $d = 44-48 = -4$ である。

末項 $l = 8$ であるから、第 $n$ 項が $8$ であるとすると、

$a + (n-1)d = l$

$48 + (n-1)(-4) = 8$

$48 - 4n + 4 = 8$

$52 - 4n = 8$

$4n = 44$

$n = 11$

よって、項数は $11$ である。

等差数列の和の公式 $S = \frac{n(a+l)}{2}$ より、

$S = \frac{11(48+8)}{2} = \frac{11(56)}{2} = 11 \times 28 = 308$

(2) 初項 $-7$, 公比 $8$ の等比数列の一般項は $a_n = -7 \cdot 8^{n-1}$ で与えられる。

第 $(2n+1)$ 項から第 $3n$ 項までの和は、等比数列の和の公式を用いて求める。

第 $(2n+1)$ 項は $a_{2n+1} = -7 \cdot 8^{2n}$ である。

第 $3n$ 項は $a_{3n} = -7 \cdot 8^{3n-1}$ である。

求める和は、

$S = \sum_{k=2n+1}^{3n} a_k = \sum_{k=2n+1}^{3n} -7 \cdot 8^{k-1} = -7 \sum_{k=2n+1}^{3n} 8^{k-1}$

$= -7 (8^{2n} + 8^{2n+1} + \dots + 8^{3n-1})$

これは初項 $8^{2n}$, 公比 $8$, 項数 $3n-(2n+1)+1 = n$ の等比数列の和であるから、

$S = -7 \cdot \frac{8^{2n}(8^n - 1)}{8-1} = -7 \cdot \frac{8^{2n}(8^n - 1)}{7} = -8^{2n}(8^n - 1) = -8^{3n} + 8^{2n}$

$S = 8^{2n} - 8^{3n}$

3. 最終的な答え

(1) $S = 308$

(2) $S = 8^{2n} - 8^{3n}$