直線 $g: y = ax + 9 - 3a$ について、以下の問いに答えます。 (1) $g$ は $a$ の値にかかわらず定点を通ります。その定点の座標を求めます。 (2) $a$ がすべての実数値をとりうるとき、$g$ と $x$ 軸の交点を $(p, 0)$ とします。このとき、$p$ のとることができない値を求めます。

1. 問題の内容

直線 $g: y = ax + 9 - 3a$ について、以下の問いに答えます。

(1) $g$ は $a$ の値にかかわらず定点を通ります。その定点の座標を求めます。

(2) $a$ がすべての実数値をとりうるとき、$g$ と $x$ 軸の交点を $(p, 0)$ とします。このとき、$p$ のとることができない値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = ax + 9 - 3a$ を $a$ について整理すると、

$y = a(x - 3) + 9$

となります。この式が任意の $a$ に対して成り立つためには、

$x - 3 = 0$ かつ $y = 9$

であればよいです。したがって、$x = 3$ かつ $y = 9$ となり、定点の座標は $(3, 9)$ です。

(2) $g$ と $x$ 軸の交点 $(p, 0)$ を $g$ の方程式に代入すると、

$0 = ap + 9 - 3a$

となります。これを $a$ について整理すると、

$ap - 3a = -9$

$a(p - 3) = -9$

となります。$a$ がすべての実数値をとりうるためには、

$p - 3 \neq 0$

である必要があります。なぜなら、$p - 3 = 0$ の場合、$0 \cdot a = -9$ となり、これを満たす $a$ は存在しないからです。

したがって、$p \neq 3$ となり、$p$ のとることができない値は $3$ です。

3. 最終的な答え

(1) 定点の座標: $(3, 9)$

(2) $p$ のとることができない値: $3$