放物線 $y = x^2 - 4(a-1)x + 4(a-1)$ の頂点の座標を求め、さらに $a$ の値が変化するときの頂点の軌跡の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4(a-1)x + 4(a-1)$ の頂点の座標を求め、さらに $a$ の値が変化するときの頂点の軌跡の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線の式を平方完成します。

$y = x^2 - 4(a-1)x + 4(a-1)$

$y = (x^2 - 4(a-1)x) + 4(a-1)$

$y = (x - 2(a-1))^2 - (2(a-1))^2 + 4(a-1)$

$y = (x - 2(a-1))^2 - 4(a-1)^2 + 4(a-1)$

$y = (x - 2(a-1))^2 - 4(a^2 - 2a + 1) + 4(a-1)$

$y = (x - 2(a-1))^2 - 4a^2 + 8a - 4 + 4a - 4$

$y = (x - 2(a-1))^2 - 4a^2 + 12a - 8$

したがって、頂点の座標は $(2(a-1), -4a^2 + 12a - 8)$、つまり $(2a - 2, -4a^2 + 12a - 8)$ です。

次に、$x = 2a - 2$ と $y = -4a^2 + 12a - 8$ から $a$ を消去し、$x$ と $y$ の関係式を求めます。

$x = 2a - 2$ より、$a = \frac{x+2}{2}$ となります。これを $y$ の式に代入します。

$y = -4(\frac{x+2}{2})^2 + 12(\frac{x+2}{2}) - 8$

$y = -4(\frac{x^2 + 4x + 4}{4}) + 6(x+2) - 8$

$y = -(x^2 + 4x + 4) + 6x + 12 - 8$

$y = -x^2 - 4x - 4 + 6x + 4$

$y = -x^2 + 2x$

3. 最終的な答え

頂点の座標は $(2a - 2, -4a^2 + 12a - 8)$。

頂点の軌跡の方程式は $y = -x^2 + 2x$。

ア: 2, イ: 2, ウエ: -4, オカ: 12, キ: 8, ク: 2, ケ: 2