次の4つの関数の最大値と最小値を、与えられた定義域内で求めます。 (1) $y = x^2 + 2x + 3 \quad (-2 \le x \le 2)$ (2) $y = -x^2 + 4x - 3 \quad (0 \le x \le 3)$ (3) $y = 3x^2 + 6x - 1 \quad (1 \le x \le 3)$ (4) $y = -2x^2 + 12x \quad (0 \le x \le 6)$

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

次の4つの関数の最大値と最小値を、与えられた定義域内で求めます。

(1) $y = x^2 + 2x + 3 \quad (-2 \le x \le 2)$

(2) $y = -x^2 + 4x - 3 \quad (0 \le x \le 3)$

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1 \quad (1 \le x \le 3)$

(4) $y = -2x^2 + 12x \quad (0 \le x \le 6)$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で最大値と最小値を求めます。

(1) 関数を平方完成して、頂点の座標を求めます。

(2) 頂点のx座標が定義域に含まれるかどうかを確認します。

(3) 定義域の端点での関数の値を求めます。

(4) 頂点のy座標と端点での関数の値を比較し、最大値と最小値を決定します。

(1) $y = x^2 + 2x + 3$

平方完成すると、$y = (x + 1)^2 + 2$となります。

頂点は $(-1, 2)$で、定義域 $-2 \le x \le 2$ に含まれます。

$x = -2$ のとき $y = (-2)^2 + 2(-2) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3$

$x = 2$ のとき $y = (2)^2 + 2(2) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11$

頂点での値は$2$なので、最大値は$11$ ($x=2$)、最小値は$2$ ($x=-1$)

(2) $y = -x^2 + 4x - 3$

平方完成すると、$y = -(x - 2)^2 + 1$となります。

頂点は $(2, 1)$で、定義域 $0 \le x \le 3$ に含まれます。

$x = 0$ のとき $y = -(0)^2 + 4(0) - 3 = -3$

$x = 3$ のとき $y = -(3)^2 + 4(3) - 3 = -9 + 12 - 3 = 0$

頂点での値は$1$なので、最大値は$1$ ($x=2$)、最小値は$-3$ ($x=0$)

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1$

平方完成すると、$y = 3(x + 1)^2 - 4$となります。

頂点は $(-1, -4)$で、定義域 $1 \le x \le 3$ に含まれません。

$x = 1$ のとき $y = 3(1)^2 + 6(1) - 1 = 3 + 6 - 1 = 8$

$x = 3$ のとき $y = 3(3)^2 + 6(3) - 1 = 27 + 18 - 1 = 44$

よって、最大値は$44$ ($x=3$)、最小値は$8$ ($x=1$)

(4) $y = -2x^2 + 12x$

平方完成すると、$y = -2(x - 3)^2 + 18$となります。

頂点は $(3, 18)$で、定義域 $0 \le x \le 6$ に含まれます。

$x = 0$ のとき $y = -2(0)^2 + 12(0) = 0$

$x = 6$ のとき $y = -2(6)^2 + 12(6) = -72 + 72 = 0$

頂点での値は$18$なので、最大値は$18$ ($x=3$)、最小値は$0$ ($x=0, 6$)

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 11 (x = 2), 最小値: 2 (x = -1)

(2) 最大値: 1 (x = 2), 最小値: -3 (x = 0)

(3) 最大値: 44 (x = 3), 最小値: 8 (x = 1)

(4) 最大値: 18 (x = 3), 最小値: 0 (x = 0, 6)