以下の8つの問題を解く。 (1) 循環小数 $x = 2.\dot{3}$ を分数で表す。 (2) $\frac{1}{x}$ を循環小数で表す。 (3) $\frac{1}{x}$ の小数第100位の数字を求める。 (4) $x = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$, $y = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ のとき、$x+y$ の値を求める。ただし、分母を有理化する。 (5) $x = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$, $y = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ のとき、$x^3 + y^3$ の値を求める。ただし、分母を有理化する。 (6) $\sqrt{5 - \sqrt{21}}$ を2重根号を外して簡単にせよ。ただし、分母を有理化する。 (7) 連立不等式 $\begin{cases} x - 3 < 5x + 4 \\ \frac{x - 5}{4} \ge \frac{2x + 3}{10} \end{cases}$ を解く。 (8) 不等式 $|3x + 9| > 1$ を解く。

1. 問題の内容

以下の8つの問題を解く。

(1) 循環小数 $x = 2.\dot{3}$ を分数で表す。

(2) $\frac{1}{x}$ を循環小数で表す。

(3) $\frac{1}{x}$ の小数第100位の数字を求める。

(4) $x = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$, $y = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ のとき、$x+y$ の値を求める。ただし、分母を有理化する。

(5) $x = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$, $y = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ のとき、$x^3 + y^3$ の値を求める。ただし、分母を有理化する。

(6) $\sqrt{5 - \sqrt{21}}$ を2重根号を外して簡単にせよ。ただし、分母を有理化する。

(7) 連立不等式 $\begin{cases} x - 3 < 5x + 4 \\ \frac{x - 5}{4} \ge \frac{2x + 3}{10} \end{cases}$ を解く。

(8) 不等式 $|3x + 9| > 1$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) $x = 2.\dot{3} = 2 + 0.\dot{3} = 2 + \frac{3}{9} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

(2) $\frac{1}{x} = \frac{3}{7}$ であり、$\frac{3}{7} = 0.\dot{4}2857\dot{1}$

(3) $\frac{1}{x} = 0.\dot{4}2857\dot{1}$ の循環節の長さは6である。100を6で割ると16余り4なので、小数第100位の数字は4番目の数字である。したがって、8である。

(4) $x = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{3 - 2\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = 5 - 2\sqrt{6}$

$y = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = 5 + 2\sqrt{6}$

$x + y = (5 - 2\sqrt{6}) + (5 + 2\sqrt{6}) = 10$

(5) $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$

$x+y = 10$

$xy = (5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6}) = 25 - 4(6) = 25 - 24 = 1$

$x^3 + y^3 = (10)^3 - 3(1)(10) = 1000 - 30 = 970$

(6) $\sqrt{5 - \sqrt{21}} = \sqrt{\frac{10 - 2\sqrt{21}}{2}} = \sqrt{\frac{7 + 3 - 2\sqrt{7 \cdot 3}}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2}{2}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14} - \sqrt{6}}{2}$

(7)

$\begin{cases} x - 3 < 5x + 4 \\ \frac{x - 5}{4} \ge \frac{2x + 3}{10} \end{cases}$

$\begin{cases} -7 < 4x \\ 10(x - 5) \ge 4(2x + 3) \end{cases}$

$\begin{cases} x > -\frac{7}{4} \\ 10x - 50 \ge 8x + 12 \end{cases}$

$\begin{cases} x > -\frac{7}{4} \\ 2x \ge 62 \end{cases}$

$\begin{cases} x > -\frac{7}{4} \\ x \ge 31 \end{cases}$

$x \ge 31$

(8) $|3x + 9| > 1$

$3x + 9 > 1$ or $3x + 9 < -1$

$3x > -8$ or $3x < -10$

$x > -\frac{8}{3}$ or $x < -\frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{3}$

(2) $0.\dot{4}2857\dot{1}$

(3) 8

(4) 10

(5) 970

(6) $\frac{\sqrt{14} - \sqrt{6}}{2}$

(7) $x \ge 31$

(8) $x > -\frac{8}{3}$ or $x < -\frac{10}{3}$