実数 $a$ に対して、2つの集合 $A = \{a-1, 4, a^2 - 5a + 6\}$ と $B = \{1, a^2 - 4, a^2 - 7a + 12, 4\}$ が与えられています。共通部分 $A \cap B = \{0, 4\}$ であるとき、$a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、2つの集合 $A = \{a-1, 4, a^2 - 5a + 6\}$ と $B = \{1, a^2 - 4, a^2 - 7a + 12, 4\}$ が与えられています。共通部分 $A \cap B = \{0, 4\}$ であるとき、$a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$A \cap B = \{0, 4\}$ ということは、$A$ と $B$ の両方に 0 と 4 が含まれるということです。4はすでに両方の集合に含まれているので、0 が $A$ と $B$ の両方に出てくるように $a$ の値を決定します。

まず、$A$ に注目すると、$A$ の要素は $a-1, 4, a^2 - 5a + 6$ です。$A \cap B = \{0, 4\}$ より、$A$ は 0 を要素として持たなければなりません。つまり、$a-1 = 0$ または $a^2 - 5a + 6 = 0$ のいずれかが成立します。

* $a - 1 = 0$ のとき、$a = 1$。このとき、$A = \{0, 4, 1^2 - 5(1) + 6\} = \{0, 4, 2\}$ となります。

* $a^2 - 5a + 6 = 0$ のとき、$(a - 2)(a - 3) = 0$ より、$a = 2$ または $a = 3$。

* $a = 2$ のとき、$A = \{2-1, 4, 0\} = \{1, 4, 0\}$ となります。

* $a = 3$ のとき、$A = \{3-1, 4, 0\} = \{2, 4, 0\}$ となります。

次に、$B$ に注目すると、$B$ の要素は $1, a^2 - 4, a^2 - 7a + 12, 4$ です。$A \cap B = \{0, 4\}$ より、$B$ は 0 を要素として持たなければなりません。つまり、$a^2 - 4 = 0$ または $a^2 - 7a + 12 = 0$ のいずれかが成立します。

* $a^2 - 4 = 0$ のとき、$(a - 2)(a + 2) = 0$ より、$a = 2$ または $a = -2$。

* $a^2 - 7a + 12 = 0$ のとき、$(a - 3)(a - 4) = 0$ より、$a = 3$ または $a = 4$。

上記の候補の中から、$A$ と $B$ の両方が 0 を要素として持つ $a$ の値を絞り込みます。

* $a = 1$ のとき、$A = \{0, 4, 2\}$ であり、$B = \{1, 1-4, 1-7+12, 4\} = \{1, -3, 6, 4\}$。$A \cap B = \{4\}$ となり条件を満たしません。

* $a = 2$ のとき、$A = \{1, 4, 0\}$ であり、$B = \{1, 0, 4-14+12, 4\} = \{1, 0, 2, 4\}$。$A \cap B = \{0, 1, 4\}$ となり条件を満たしません。

* $a = 3$ のとき、$A = \{2, 4, 0\}$ であり、$B = \{1, 9-4, 0, 4\} = \{1, 5, 0, 4\}$。$A \cap B = \{0, 4\}$ となり条件を満たします。

* $a = -2$ のとき、$A = \{-3, 4, 4 + 10 + 6\} = \{-3, 4, 20\}$であり、$B = \{1, 0, 4+14+12, 4\} = \{1, 0, 30, 4\}$。$A \cap B = \{4\}$ となり条件を満たしません。

* $a = 4$のとき、$A = \{3, 4, 16-20+6\} = \{3, 4, 2\}$ であり、$B=\{1, 16-4, 16-28+12, 4\} = \{1, 12, 0, 4\}$。$A \cap B=\{4\}$ となり条件を満たしません。

したがって、$a = 3$ のとき、$A \cap B = \{0, 4\}$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 3$