$S = 1 + 2r + 3r^2 + \dots + nr^{n-1}$ が与えられている。 (1) $r=1$ のとき、$S$ を求める。 (2) $r \neq 1$ のとき、$S$ を求める。

1. 問題の内容

$S = 1 + 2r + 3r^2 + \dots + nr^{n-1}$ が与えられている。

(1) $r=1$ のとき、$S$ を求める。

(2) $r \neq 1$ のとき、$S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $r=1$ のとき

$S = 1 + 2(1) + 3(1)^2 + \dots + n(1)^{n-1} = 1 + 2 + 3 + \dots + n$

これは初項1、末項n、項数nの等差数列の和なので、

$S = \frac{n(1+n)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$

(2) $r \neq 1$ のとき

$S = 1 + 2r + 3r^2 + \dots + nr^{n-1}$

両辺に $r$ をかけると

$rS = r + 2r^2 + 3r^3 + \dots + (n-1)r^{n-1} + nr^n$

$S - rS = (1 + 2r + 3r^2 + \dots + nr^{n-1}) - (r + 2r^2 + 3r^3 + \dots + (n-1)r^{n-1} + nr^n)$

$S(1-r) = 1 + r + r^2 + \dots + r^{n-1} - nr^n$

$1 + r + r^2 + \dots + r^{n-1}$ は初項1、公比 $r$、項数 $n$ の等比数列の和なので、$\frac{1-r^n}{1-r}$ となる。

よって、

$S(1-r) = \frac{1-r^n}{1-r} - nr^n$

$S = \frac{1-r^n}{(1-r)^2} - \frac{nr^n}{1-r}$

$S = \frac{1-r^n - nr^n(1-r)}{(1-r)^2}$

$S = \frac{1 - r^n - nr^n + nr^{n+1}}{(1-r)^2}$

$S = \frac{1 - (n+1)r^n + nr^{n+1}}{(1-r)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $r=1$ のとき、$S = \frac{n(n+1)}{2}$

(2) $r \neq 1$ のとき、$S = \frac{1 - (n+1)r^n + nr^{n+1}}{(1-r)^2}$