複素数 $\alpha, \beta, \gamma$ は以下の条件 (*) を満たすとする。 (*) $|\alpha - 2| = 1$, $|\beta - i| = 2$, $|\gamma| = |\gamma - 2|$, $-3 \leq Im(\gamma) \leq 3$ このとき、次の問いに答えよ。 (1) 複素数 $\alpha + \beta$ の動きうる領域を図示せよ。 (2) 複素数 $(\alpha - 2)(\beta - i)$ の動きうる領域を図示せよ。 (3) 複素数 $\alpha + \gamma$ の動きうる領域を図示せよ。 (4) 複素数 $(\gamma - 1)(\beta - i)$ の動きうる領域を図示せよ。 (5) 複素数 $\beta_0$ を $|\beta_0 - i| = 2$ を満たす定数とする。 $(\alpha - 1)(\beta_0 - 1)(\gamma - 1)$ の動きうる領域の面積が $180\pi$ となるときの $\beta_0$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha, \beta, \gamma$ は以下の条件 (*) を満たすとする。

(*) $|\alpha - 2| = 1$, $|\beta - i| = 2$, $|\gamma| = |\gamma - 2|$, $-3 \leq Im(\gamma) \leq 3$

このとき、次の問いに答えよ。

(1) 複素数 $\alpha + \beta$ の動きうる領域を図示せよ。

(2) 複素数 $(\alpha - 2)(\beta - i)$ の動きうる領域を図示せよ。

(3) 複素数 $\alpha + \gamma$ の動きうる領域を図示せよ。

(4) 複素数 $(\gamma - 1)(\beta - i)$ の動きうる領域を図示せよ。

(5) 複素数 $\beta_0$ を $|\beta_0 - i| = 2$ を満たす定数とする。 $(\alpha - 1)(\beta_0 - 1)(\gamma - 1)$ の動きうる領域の面積が $180\pi$ となるときの $\beta_0$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $|\alpha - 2| = 1$ より、$\alpha$ は中心 $2$、半径 $1$ の円周上を動く。$|\beta - i| = 2$ より、$\beta$ は中心 $i$、半径 $2$ の円周上を動く。よって、$\alpha = 2 + e^{i\theta}$, $\beta = i + 2e^{i\phi}$ と表せる。

$\alpha + \beta = (2 + e^{i\theta}) + (i + 2e^{i\phi}) = (2 + i) + e^{i\theta} + 2e^{i\phi}$ となる。

$\alpha + \beta$ の中心は $2+i$ であり、$|\alpha - 2| + |\beta - i| = 1 + 2 = 3$ より、$\alpha + \beta$ は中心 $2+i$、半径 $3$ の円の内部または円周上を動く。

(2) $|\alpha - 2| = 1$ より、$\alpha - 2$ は中心 $0$、半径 $1$ の円周上を動く。$|\beta - i| = 2$ より、$\beta - i$ は中心 $0$、半径 $2$ の円周上を動く。

$(\alpha - 2)(\beta - i)$ は、中心 $0$、半径 $1 \times 2 = 2$ の円周上を動く。

(3) $|\gamma| = |\gamma - 2|$ は、$\gamma$ が $0$ と $2$ を結ぶ線分の垂直二等分線上を動くことを意味する。すなわち、$\gamma$ は $Re(\gamma) = 1$ を満たす直線上を動く。さらに、$-3 \leq Im(\gamma) \leq 3$ であるから、$\gamma$ は直線 $Re(\gamma) = 1$ 上の $-3 \leq Im(\gamma) \leq 3$ の部分を動く。

$\alpha + \gamma = (\alpha - 2) + \gamma + 2$

$\alpha - 2$ は $|z|=1$ 上を動くので、$\alpha + \gamma$ は $\gamma + 2$ を中心とする半径1の円周上を動く。$\gamma = 1 + iy (-3 \leq y \leq 3)$ なので、中心は $3 + iy$ であり、$3-3i$ から $3+3i$ まで動く。

$\alpha + \gamma$ は、中心が $3-3i$ から $3+3i$ まで動く半径1の円の通過領域である。

(4) $\gamma - 1$ は中心 $0+0i$、半径 $1$の線分上を動く。$-2 \leq Im(\gamma-1) \leq 2$。$\beta - i$ は中心 $0$、半径 $2$ の円周上を動く。よって、$(\gamma - 1)(\beta - i)$ は複素数の積なので、$(\gamma-1)(\beta-i)$ はスカラー倍になることを利用する。

$(\gamma-1)(\beta-i)$ の動きうる領域は、中心 $0$、半径 $2\sqrt{5}$ の円の $-2 \leq Im(z) \leq 2$ の部分である。

(5) $|\beta_0 - i| = 2$ より、$\beta_0 = i + 2e^{i\theta}$ と表せる。$\beta_0 - 1 = i - 1 + 2e^{i\theta}$

$\alpha - 1$ は中心 $1$、半径 $1$ の円周上を動くので、$|\alpha - 1| = 1$ である。$\gamma - 1$ は $Re(\gamma) = 1$ 上の $-3 \leq Im(\gamma) \leq 3$ の部分を動くので、$|\gamma - 1|$ は $\sqrt{1+(y)^2}$ の範囲を動く。$(\alpha - 1)(\beta_0 - 1)(\gamma - 1)$ の面積が $180\pi$ となるときの $\beta_0$ を求める。

$(\alpha - 1)$ の範囲は円周上で $|z| = 1$, $(\gamma-1)$の範囲は直線で $-2i \leq y \leq 2i$ を動くので、$(\alpha - 1)(\gamma - 1)$ は, 面積が$\pi(2e^{i\theta})^2 = 4\pi$である。

$|(\alpha - 1)(\beta_0 - 1)(\gamma - 1)| = |\alpha - 1||\beta_0 - 1||\gamma - 1| = 1 \times |\beta_0 - 1| \times |\gamma - 1|$

$(\alpha - 1)(\beta_0 - 1)(\gamma - 1)$ の動きうる領域の面積は $|\beta_0 - 1| \times \text{面積} = 180\pi$ となる。

したがって, $|\beta_0 - 1| \cdot 4 \pi = 180 \pi$

$|\beta_0 - 1| = 45$

$\beta_0 = i + 2e^{i\theta}$ より、$\beta_0 - 1 = (2\cos\theta - 1) + (2\sin\theta + 1)i$

$|\beta_0 - 1|^2 = (2\cos\theta - 1)^2 + (2\sin\theta + 1)^2 = 4\cos^2\theta - 4\cos\theta + 1 + 4\sin^2\theta + 4\sin\theta + 1$

$= 4(\cos^2\theta + \sin^2\theta) - 4\cos\theta + 4\sin\theta + 2 = 6 - 4\cos\theta + 4\sin\theta = 45^2$

$6 - 4\cos\theta + 4\sin\theta = 2025$

$-4\cos\theta + 4\sin\theta = 2019$

$\sin\theta - \cos\theta = 504.75$

これは不可能。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $2+i$, 半径 $3$ の円の内部と円周上

(2) 中心 $0$, 半径 $2$ の円周上

(3) 領域は、中心が $3-3i$ から $3+3i$ まで動く半径1の円の通過領域

(4) 複素平面上の線分

(5) $\beta_0$ の値は求まらない。