関数 $y = -x^2 + 2ax - 4a + 1$ の $-1 \le x \le 2$ における最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 2ax - 4a + 1$ の $-1 \le x \le 2$ における最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数を平方完成します。

$y = -(x^2 - 2ax) - 4a + 1$

$y = -(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - 4a + 1$

$y = -(x - a)^2 + a^2 - 4a + 1$

したがって、頂点の座標は $(a, a^2 - 4a + 1)$ です。

次に、定義域 $-1 \le x \le 2$ における最大値を考えます。

頂点の位置 $x = a$ が定義域内にあるか、定義域外にあるかで場合分けが必要です。

(i) $a < -1$ のとき

$x = -1$ で最大値をとります。

$y(-1) = -(-1)^2 + 2a(-1) - 4a + 1 = -1 - 2a - 4a + 1 = -6a$

(ii) $-1 \le a \le 2$ のとき

$x = a$ で最大値をとります。

$y(a) = a^2 - 4a + 1$

(iii) $a > 2$ のとき

$x = 2$ で最大値をとります。

$y(2) = -2^2 + 2a(2) - 4a + 1 = -4 + 4a - 4a + 1 = -3$

以上より、場合分けに応じて最大値を求めます。

(i) $a < -1$ のとき、最大値は $-6a$

(ii) $-1 \le a \le 2$ のとき、最大値は $a^2 - 4a + 1$

(iii) $a > 2$ のとき、最大値は $-3$

3. 最終的な答え

$a < -1$ のとき、最大値 $-6a$

$-1 \le a \le 2$ のとき、最大値 $a^2 - 4a + 1$

$a > 2$ のとき、最大値 $-3$