与えられた連立1次方程式を解き、解をベクトルを用いて表現する問題です。連立方程式は2つあります。 (1) $2x + y - 2z = 3$ $x + y - 3z + w = 2$ $3x + y - 6z + w = 4$ $4x + 2y - 9z + 2w = 6$ (2) $2x - 2y + 4z - 2w = -10$ $-x + y - 2z + w = 5$ $3x - 3y + 6z - 3w = -15$ $-4x + 4y - 8z + 4w = 20$

1. 問題の内容

与えられた連立1次方程式を解き、解をベクトルを用いて表現する問題です。連立方程式は2つあります。

(1)

$2x + y - 2z = 3$

$x + y - 3z + w = 2$

$3x + y - 6z + w = 4$

$4x + 2y - 9z + 2w = 6$

(2)

$2x - 2y + 4z - 2w = -10$

$-x + y - 2z + w = 5$

$3x - 3y + 6z - 3w = -15$

$-4x + 4y - 8z + 4w = 20$

2. 解き方の手順

(1)

まず、連立方程式を行列で表現します。

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & -6 & 1 \\ 4 & 2 & -9 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$

次に、拡大行列を作り、行基本変形を行います。

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & -3 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -6 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & -9 & 2 & 6 \end{pmatrix}$

1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -2 & 0 & 3 \\ 3 & 1 & -6 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & -9 & 2 & 6 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引きます。3行目から1行目の3倍を引きます。4行目から1行目の4倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 4 & -2 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -2 & -2 \\ 0 & -2 & 3 & -2 & -2 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の2倍を引きます。4行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 4 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -5 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

4行目から3行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 4 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

よって、

$-5z + 2w = 0$

$-y + 4z - 2w = -1$

$x + y - 3z + w = 2$

$z = t$ とすると、$w = \frac{5}{2}t$

$-y + 4t - 2(\frac{5}{2}t) = -1$

$-y + 4t - 5t = -1$

$y = 1 - t$

$x + 1 - t - 3t + \frac{5}{2}t = 2$

$x = 1 + \frac{3}{2}t$

解は

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3/2 \\ -1 \\ 1 \\ 5/2 \end{pmatrix}$

(2)

$2x - 2y + 4z - 2w = -10$

$-x + y - 2z + w = 5$

$3x - 3y + 6z - 3w = -15$

$-4x + 4y - 8z + 4w = 20$

1行目を2で割ります。

$x - y + 2z - w = -5$

2行目に1行目を足します。

$0 = 0$

3行目に1行目の-3倍を足します。

$0 = 0$

4行目に1行目の4倍を足します。

$0 = 0$

よって、$x = y - 2z + w - 5$

$y = s, z = t, w = u$とすると、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3/2 \\ -1 \\ 1 \\ 5/2 \end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$