放物線 $y = 2x^2 - 8x + 1$ を $x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $5$ だけ平行移動した放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 - 8x + 1$ を $x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $5$ だけ平行移動した放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

平行移動の公式を利用します。$x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動する場合、$x$ を $x-p$ に、$y$ を $y-q$ に置き換えます。今回の場合は、$p = -3$, $q = 5$ なので、$x$ を $x-(-3) = x+3$ に、$y$ を $y-5$ に置き換えます。

元の放物線の方程式は $y = 2x^2 - 8x + 1$ です。

$x$ を $x+3$, $y$ を $y-5$ に置き換えると、

$y - 5 = 2(x+3)^2 - 8(x+3) + 1$

これを $y$ について解きます。

$y - 5 = 2(x^2 + 6x + 9) - 8x - 24 + 1$

$y - 5 = 2x^2 + 12x + 18 - 8x - 24 + 1$

$y - 5 = 2x^2 + 4x - 5$

$y = 2x^2 + 4x - 5 + 5$

$y = 2x^2 + 4x$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 + 4x$