与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を展開する際に工夫をします。

$(x-1)(x-7)$ と $(x-3)(x-5)$ のペアを作り、それぞれ展開すると、$x^2 - 8x$ の項が現れます。

$(x-1)(x-7) = x^2 - 8x + 7$

$(x-3)(x-5) = x^2 - 8x + 15$

ここで、$x^2 - 8x = A$ と置くと、

$(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15 = (x^2 - 8x + 7)(x^2 - 8x + 15) + 15 = (A + 7)(A + 15) + 15$

となります。

これを展開すると、

$(A + 7)(A + 15) + 15 = A^2 + 22A + 105 + 15 = A^2 + 22A + 120$

となります。

次に、$A^2 + 22A + 120$ を因数分解すると、

$A^2 + 22A + 120 = (A + 10)(A + 12)$

となります。

$A = x^2 - 8x$ を代入すると、

$(A + 10)(A + 12) = (x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$

となります。

ここで、$x^2 - 8x + 12$ はさらに因数分解できます。

$x^2 - 8x + 12 = (x - 2)(x - 6)$

したがって、

$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12) = (x^2 - 8x + 10)(x - 2)(x - 6)$

$x^2 - 8x + 10$は因数分解できません。

3. 最終的な答え

$(x - 2)(x - 6)(x^2 - 8x + 10)$