与えられた4つの式をそれぞれ因数分解します。 (1) $x^2 + 4x + 4$ (2) $4x^2 - 20xy + 25y^2$ (3) $36x^2 - 49y^2$ (4) $x^2 + 5x - 24$

1. 問題の内容

与えられた4つの式をそれぞれ因数分解します。

(1) $x^2 + 4x + 4$

(2) $4x^2 - 20xy + 25y^2$

(3) $36x^2 - 49y^2$

(4) $x^2 + 5x - 24$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 4x + 4$

これは $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$ の形を利用します。

$2a = 4$ より $a = 2$ であり、$a^2 = 4$ となるため、

$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$ と因数分解できます。

(2) $4x^2 - 20xy + 25y^2$

これは $(ax - by)^2 = a^2x^2 - 2abxy + b^2y^2$ の形を利用します。

$a^2 = 4$ より $a = 2$、$b^2 = 25$ より $b = 5$ であり、$-2ab = -2(2)(5) = -20$ となるため、

$4x^2 - 20xy + 25y^2 = (2x - 5y)^2$ と因数分解できます。

(3) $36x^2 - 49y^2$

これは $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の形を利用します。

$36x^2 = (6x)^2$、$49y^2 = (7y)^2$ なので、

$36x^2 - 49y^2 = (6x + 7y)(6x - 7y)$ と因数分解できます。

(4) $x^2 + 5x - 24$

これは $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ の形を利用します。

$a+b = 5$、$ab = -24$ を満たす $a$ と $b$ を探します。

$ab = -24$ より、$a$ と $b$ は異符号であり、$|a| > |b|$ とします。

$24 = 1 \times 24 = 2 \times 12 = 3 \times 8 = 4 \times 6$ なので、$a=8$、$b=-3$ が条件を満たします。

したがって、$x^2 + 5x - 24 = (x+8)(x-3)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

(1) $(x+2)^2$

(2) $(2x - 5y)^2$

(3) $(6x + 7y)(6x - 7y)$

(4) $(x+8)(x-3)$