与えられた式 $x^2 - y^2 + x + 5y - 6$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - y^2 + x + 5y - 6$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2-y^2$ の項と、$x$ と $y$ の項をそれぞれまとめます。

$x^2 - y^2 + x + 5y - 6 = (x^2 + x) - (y^2 - 5y) - 6$

次に、$x$の項と$y$の項について、それぞれ平方完成を目指します。

$x^2 + x = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

$y^2 - 5y = (y - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4}$

したがって、与えられた式は

$(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - ((y - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4}) - 6$

$= (x + \frac{1}{2})^2 - (y - \frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4} + \frac{25}{4} - 6$

$= (x + \frac{1}{2})^2 - (y - \frac{5}{2})^2 + \frac{24}{4} - 6$

$= (x + \frac{1}{2})^2 - (y - \frac{5}{2})^2 + 6 - 6$

$= (x + \frac{1}{2})^2 - (y - \frac{5}{2})^2$

これは差の二乗の形なので、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を用いると

$(x + \frac{1}{2} + y - \frac{5}{2})(x + \frac{1}{2} - y + \frac{5}{2})$

$= (x + y - 2)(x - y + 3)$

3. 最終的な答え

$(x+y-2)(x-y+3)$