次の計算問題を解きます。 $\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 3} - \frac{\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5} - 1}$

1. 問題の内容

次の計算問題を解きます。

$\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 3} - \frac{\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5} - 1}$

2. 解き方の手順

まず、通分します。

$\frac{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 1)} - \frac{(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} + 3)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 3)}$

$\frac{(\sqrt{5} - 1)^2 - (\sqrt{5} + 3)^2}{(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 1)}$

分子を展開します。

$(\sqrt{5} - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5} + 1 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}$

$(\sqrt{5} + 3)^2 = (\sqrt{5})^2 + 6\sqrt{5} + 9 = 5 + 6\sqrt{5} + 9 = 14 + 6\sqrt{5}$

分母を展開します。

$(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 1) = (\sqrt{5})^2 - \sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 3 = 5 + 2\sqrt{5} - 3 = 2 + 2\sqrt{5}$

式を整理します。

$\frac{(6 - 2\sqrt{5}) - (14 + 6\sqrt{5})}{2 + 2\sqrt{5}} = \frac{6 - 2\sqrt{5} - 14 - 6\sqrt{5}}{2 + 2\sqrt{5}} = \frac{-8 - 8\sqrt{5}}{2 + 2\sqrt{5}}$

分子と分母を2で割ります。

$\frac{-4 - 4\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}}$

分子を-4でくくります。

$\frac{-4(1 + \sqrt{5})}{1 + \sqrt{5}}$

$1+\sqrt{5}$ で約分します。

$-4$

3. 最終的な答え

-4