問題3は、与えられた6つの式を因数分解することです。 問題4は、与えられた2つの3次方程式の解を因数分解を利用して求めることです。

1. 問題の内容

問題3は、与えられた6つの式を因数分解することです。

問題4は、与えられた2つの3次方程式の解を因数分解を利用して求めることです。

2. 解き方の手順

問題3

(1) $x^2 + 4x - 5$

和が4、積が-5となる2つの数は5と-1なので、

$x^2 + 4x - 5 = (x+5)(x-1)$

(2) $9a^2 - 36b^2$

共通因数9でくくると、

$9a^2 - 36b^2 = 9(a^2 - 4b^2)$

さらに、$a^2 - 4b^2$は$(a+2b)(a-2b)$と因数分解できるので、

$9a^2 - 36b^2 = 9(a+2b)(a-2b)$

(3) $(x+2)^2 + 6(x+2) - 7$

$x+2 = A$とおくと、

$A^2 + 6A - 7$

和が6、積が-7となる2つの数は7と-1なので、

$A^2 + 6A - 7 = (A+7)(A-1)$

$A$を$x+2$に戻すと、

$(x+2+7)(x+2-1) = (x+9)(x+1)$

(4) $x^4 - 5x^2 + 4$

$x^2 = A$とおくと、

$A^2 - 5A + 4$

和が-5、積が4となる2つの数は-4と-1なので、

$A^2 - 5A + 4 = (A-4)(A-1)$

$A$を$x^2$に戻すと、

$(x^2 - 4)(x^2 - 1)$

さらに、$x^2 - 4$は$(x+2)(x-2)$、$x^2 - 1$は$(x+1)(x-1)$と因数分解できるので、

$(x^2 - 4)(x^2 - 1) = (x+2)(x-2)(x+1)(x-1)$

(5) $16x^3 + 54y^3$

共通因数2でくくると、

$16x^3 + 54y^3 = 2(8x^3 + 27y^3)$

$8x^3 + 27y^3 = (2x)^3 + (3y)^3$

$A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$より、

$2(8x^3 + 27y^3) = 2(2x+3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$

(6) $x^6 - y^6$

$x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2$

$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$より、

$(x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 + y^3)(x^3 - y^3)$

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$

よって、$x^6 - y^6 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)(x-y)(x^2 + xy + y^2)$

問題4

(1) $2x^3 - 10x^2 + 4x + 16 = 0$

$P(x) = 2x^3 - 10x^2 + 4x + 16$とおくと、

$P(-1) = 2(-1)^3 - 10(-1)^2 + 4(-1) + 16 = -2 - 10 - 4 + 16 = 0$なので、$x+1$を因数に持つ。

$2x^3 - 10x^2 + 4x + 16 = (x+1)(2x^2 - 12x + 16) = 0$

$2x^2 - 12x + 16 = 2(x^2 - 6x + 8) = 2(x-2)(x-4) = 0$

よって、$x = -1, 2, 4$

(2) $x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$

$x^2(x-2) - (x-2) = (x^2-1)(x-2) = (x+1)(x-1)(x-2) = 0$

よって、$x = -1, 1, 2$

3. 最終的な答え

問題3

(1) $(x+5)(x-1)$

(2) $9(a+2b)(a-2b)$

(3) $(x+9)(x+1)$

(4) $(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)$

(5) $2(2x+3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$

(6) $(x+y)(x^2 - xy + y^2)(x-y)(x^2 + xy + y^2)$

問題4

(1) $x = -1, 2, 4$

(2) $x = -1, 1, 2$